Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13537 / 3358
↖ ↑ ↗
← N 80.593319°
W 31.278076°		 ← 199.66 m → N 80.593319°
W 31.267090°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 80.591523°
W 31.278076°		 ← 199.69 m →
39 868 m²		 N 80.591523°
W 31.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413131713867188 y=0.102493286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413131713867188 × 215)
    floor (0.413131713867188 × 32768)
    floor (13537.5)     		tx = 13537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102493286132812 × 215)
    floor (0.102493286132812 × 32768)
    floor (3358.5)     		ty = 3358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13537 / 3358 ti = "15/13537/3358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13537/3358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13537 ÷ 215
    13537 ÷ 32768     		x = 0.413116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3358 ÷ 215
    3358 ÷ 32768     		y = 0.10247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.17376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54590541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10247802734375 × 2 - 1) × π
    0.7950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49770421780341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54590541} λ = -0.54590541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49770421780341))-π/2
    2×atan(12.1545576880272)-π/2
    2×1.48870754769899-π/2
    2.97741509539797-1.57079632675     		φ = 1.40661877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54590541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40661877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.593319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13537 KachelY 3358 -0.54590541 1.40661877 -31.278076 80.593319
    Oben rechts KachelX + 1 13538 KachelY 3358 -0.54571367 1.40661877 -31.267090 80.593319
    Unten links KachelX 13537 KachelY + 1 3359 -0.54590541 1.40658743 -31.278076 80.591523
    Unten rechts KachelX + 1 13538 KachelY + 1 3359 -0.54571367 1.40658743 -31.267090 80.591523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40661877-1.40658743) × R
    3.13399999998243e-05 × 6371000     		dl = 199.667139998881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40661877-1.40658743) × R
    3.13399999998243e-05 × 6371000     		dr = 199.667139998881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54590541--0.54571367) × cos(1.40661877) × R
    0.000191739999999996 × 0.163441002457008 × 6371000     		do = 199.655530834556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54590541--0.54571367) × cos(1.40658743) × R
    0.000191739999999996 × 0.163471920951202 × 6371000     		du = 199.693300110798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40661877)-sin(1.40658743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163441002457008-0.163471920951202)×R²
    abs(-0.54571367--0.54590541)×3.09184941945095e-05×R²
    0.000191739999999996×3.09184941945095e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.09184941945095e-05×40589641000000     		ar = 39868.4194710437m²