Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13537 / 2976
↖ ↑ ↗
← N 81.255032°
W 31.278076°		 ← 185.72 m → N 81.255032°
W 31.267090°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 81.253362°
W 31.278076°		 ← 185.76 m →
34 507 m²		 N 81.253362°
W 31.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413131713867188 y=0.0908355712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413131713867188 × 215)
    floor (0.413131713867188 × 32768)
    floor (13537.5)     		tx = 13537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0908355712890625 × 215)
    floor (0.0908355712890625 × 32768)
    floor (2976.5)     		ty = 2976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13537 / 2976 ti = "15/13537/2976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13537/2976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13537 ÷ 215
    13537 ÷ 32768     		x = 0.413116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2976 ÷ 215
    2976 ÷ 32768     		y = 0.0908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.17376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54590541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908203125 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54590541} λ = -0.54590541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57095180042285))-π/2
    2×atan(13.0782664183627)-π/2
    2×1.49448208710832-π/2
    2.98896417421665-1.57079632675     		φ = 1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54590541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13537 KachelY 2976 -0.54590541 1.41816785 -31.278076 81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 13538 KachelY 2976 -0.54571367 1.41816785 -31.267090 81.255032
    Unten links KachelX 13537 KachelY + 1 2977 -0.54590541 1.41813869 -31.278076 81.253362
    Unten rechts KachelX + 1 13538 KachelY + 1 2977 -0.54571367 1.41813869 -31.267090 81.253362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41816785-1.41813869) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41816785-1.41813869) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54590541--0.54571367) × cos(1.41816785) × R
    0.000191739999999996 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 185.724161314374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54590541--0.54571367) × cos(1.41813869) × R
    0.000191739999999996 × 0.152065396035741 × 6371000     		du = 185.759368277671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41816785)-sin(1.41813869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152065396035741)×R²
    abs(-0.54571367--0.54590541)×2.88209465100775e-05×R²
    0.000191739999999996×2.88209465100775e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.88209465100775e-05×40589641000000     		ar = 34506.8004497255m²