Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13537 / 12702
↖ ↑ ↗
← S 69.885010°
E117.443848°		 ← 840.23 m → S 69.885010°
E117.465820°		 →
↑
840.14 m
↓
↑
840.14 m
↓
S 69.892565°
E117.443848°		 ← 839.93 m →
705 791 m²		 S 69.892565°
E117.465820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826263427734375 y=0.775299072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826263427734375 × 214)
    floor (0.826263427734375 × 16384)
    floor (13537.5)     		tx = 13537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775299072265625 × 214)
    floor (0.775299072265625 × 16384)
    floor (12702.5)     		ty = 12702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13537 / 12702 ti = "14/13537/12702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13537/12702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13537 ÷ 214
    13537 ÷ 16384     		x = 0.82623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12702 ÷ 214
    12702 ÷ 16384     		y = 0.7752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82623291015625 × 2 - 1) × π
    0.6524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04978183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72956333829163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04978183} λ = 2.04978183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72956333829163))-π/2
    2×atan(0.177361840187379)-π/2
    2×0.175536401923276-π/2
    0.351072803846552-1.57079632675     		φ = -1.21972352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04978183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.443848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21972352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.885010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13537 KachelY 12702 2.04978183 -1.21972352 117.443848 -69.885010
    Oben rechts KachelX + 1 13538 KachelY 12702 2.05016532 -1.21972352 117.465820 -69.885010
    Unten links KachelX 13537 KachelY + 1 12703 2.04978183 -1.21985539 117.443848 -69.892565
    Unten rechts KachelX + 1 13538 KachelY + 1 12703 2.05016532 -1.21985539 117.465820 -69.892565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21972352--1.21985539) × R
    0.000131869999999923 × 6371000     		dl = 840.143769999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21972352--1.21985539) × R
    0.000131869999999923 × 6371000     		dr = 840.143769999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04978183-2.05016532) × cos(-1.21972352) × R
    0.000383489999999931 × 0.343905375368429 × 6371000     		do = 840.234699460497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04978183-2.05016532) × cos(-1.21985539) × R
    0.000383489999999931 × 0.343781545880322 × 6371000     		du = 839.932157423715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21972352)-sin(-1.21985539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343905375368429-0.343781545880322)×R²
    abs(2.05016532-2.04978183)×0.00012382948810713×R²
    0.000383489999999931×0.00012382948810713×6371000²
    0.000383489999999931×0.00012382948810713×40589641000000     		ar = 705790.859708388m²