Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13536 / 12703
↖ ↑ ↗
← S 69.892565°
E117.421875°		 ← 839.95 m → S 69.892565°
E117.443848°		 →
↑
839.76 m
↓
↑
839.76 m
↓
S 69.900118°
E117.421875°		 ← 839.65 m →
705 234 m²		 S 69.900118°
E117.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826202392578125 y=0.775360107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826202392578125 × 214)
    floor (0.826202392578125 × 16384)
    floor (13536.5)     		tx = 13536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775360107421875 × 214)
    floor (0.775360107421875 × 16384)
    floor (12703.5)     		ty = 12703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13536 / 12703 ti = "14/13536/12703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13536/12703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13536 ÷ 214
    13536 ÷ 16384     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12703 ÷ 214
    12703 ÷ 16384     		y = 0.77532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.5506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72994683348859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72994683348859))-π/2
    2×atan(0.177293835814051)-π/2
    2×0.175470470765904-π/2
    0.350940941531809-1.57079632675     		φ = -1.21985539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21985539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.892565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13536 KachelY 12703 2.04939833 -1.21985539 117.421875 -69.892565
    Oben rechts KachelX + 1 13537 KachelY 12703 2.04978183 -1.21985539 117.443848 -69.892565
    Unten links KachelX 13536 KachelY + 1 12704 2.04939833 -1.21998720 117.421875 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 13537 KachelY + 1 12704 2.04978183 -1.21998720 117.443848 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21985539--1.21998720) × R
    0.000131810000000065 × 6371000     		dl = 839.761510000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21985539--1.21998720) × R
    0.000131810000000065 × 6371000     		dr = 839.761510000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.04978183) × cos(-1.21985539) × R
    0.000383500000000314 × 0.343781545880322 × 6371000     		do = 839.954059746843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.04978183) × cos(-1.21998720) × R
    0.000383500000000314 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 839.65163288257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21985539)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343781545880322-0.343657766759656)×R²
    abs(2.04978183-2.04939833)×0.000123779120666079×R²
    0.000383500000000314×0.000123779120666079×6371000²
    0.000383500000000314×0.000123779120666079×40589641000000     		ar = 705234.1073462m²