Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13535 / 3872
↖ ↑ ↗
← N 79.624057°
W 31.300049°		 ← 220.02 m → N 79.624057°
W 31.289062°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
N 79.622078°
W 31.300049°		 ← 220.07 m →
48 422 m²		 N 79.622078°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413070678710938 y=0.118179321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413070678710938 × 215)
    floor (0.413070678710938 × 32768)
    floor (13535.5)     		tx = 13535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118179321289062 × 215)
    floor (0.118179321289062 × 32768)
    floor (3872.5)     		ty = 3872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13535 / 3872 ti = "15/13535/3872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13535/3872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13535 ÷ 215
    13535 ÷ 32768     		x = 0.413055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3872 ÷ 215
    3872 ÷ 32768     		y = 0.1181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.17388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54628891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1181640625 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39914595218457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54628891} λ = -0.54628891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39914595218457))-π/2
    2×atan(11.01376607993)-π/2
    2×1.48024913643465-π/2
    2.9604982728693-1.57079632675     		φ = 1.38970195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54628891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.300049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38970195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.624057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13535 KachelY 3872 -0.54628891 1.38970195 -31.300049 79.624057
    Oben rechts KachelX + 1 13536 KachelY 3872 -0.54609716 1.38970195 -31.289062 79.624057
    Unten links KachelX 13535 KachelY + 1 3873 -0.54628891 1.38966741 -31.300049 79.622078
    Unten rechts KachelX + 1 13536 KachelY + 1 3873 -0.54609716 1.38966741 -31.289062 79.622078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38970195-1.38966741) × R
    3.45400000001383e-05 × 6371000     		dl = 220.054340000881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38970195-1.38966741) × R
    3.45400000001383e-05 × 6371000     		dr = 220.054340000881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54628891--0.54609716) × cos(1.38970195) × R
    0.000191750000000046 × 0.180106161709778 × 6371000     		do = 220.024756311565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54628891--0.54609716) × cos(1.38966741) × R
    0.000191750000000046 × 0.18014013677586 × 6371000     		du = 220.066261585812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38970195)-sin(1.38966741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180106161709778-0.18014013677586)×R²
    abs(-0.54609716--0.54628891)×3.39750660823257e-05×R²
    0.000191750000000046×3.39750660823257e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.39750660823257e-05×40589641000000     		ar = 48421.9692470533m²