Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13535 / 3360
↖ ↑ ↗
← N 80.589727°
W 31.300049°		 ← 199.74 m → N 80.589727°
W 31.289062°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 80.587930°
W 31.300049°		 ← 199.78 m →
39 911 m²		 N 80.587930°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413070678710938 y=0.102554321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413070678710938 × 215)
    floor (0.413070678710938 × 32768)
    floor (13535.5)     		tx = 13535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102554321289062 × 215)
    floor (0.102554321289062 × 32768)
    floor (3360.5)     		ty = 3360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13535 / 3360 ti = "15/13535/3360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13535/3360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13535 ÷ 215
    13535 ÷ 32768     		x = 0.413055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3360 ÷ 215
    3360 ÷ 32768     		y = 0.1025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.17388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54628891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1025390625 × 2 - 1) × π
    0.794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49732072260645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54628891} λ = -0.54628891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49732072260645))-π/2
    2×atan(12.1498973671951)-π/2
    2×1.48867620234983-π/2
    2.97735240469966-1.57079632675     		φ = 1.40655608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54628891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.300049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40655608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.589727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13535 KachelY 3360 -0.54628891 1.40655608 -31.300049 80.589727
    Oben rechts KachelX + 1 13536 KachelY 3360 -0.54609716 1.40655608 -31.289062 80.589727
    Unten links KachelX 13535 KachelY + 1 3361 -0.54628891 1.40652472 -31.300049 80.587930
    Unten rechts KachelX + 1 13536 KachelY + 1 3361 -0.54609716 1.40652472 -31.289062 80.587930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40655608-1.40652472) × R
    3.13600000001468e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40655608-1.40652472) × R
    3.13600000001468e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54628891--0.54609716) × cos(1.40655608) × R
    0.000191750000000046 × 0.163502849150264 × 6371000     		do = 199.74149800884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54628891--0.54609716) × cos(1.40652472) × R
    0.000191750000000046 × 0.163533787054009 × 6371000     		du = 199.779292966368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40655608)-sin(1.40652472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163502849150264-0.163533787054009)×R²
    abs(-0.54609716--0.54628891)×3.09379037451152e-05×R²
    0.000191750000000046×3.09379037451152e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.09379037451152e-05×40589641000000     		ar = 39911.0403248195m²