Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13534 / 3359
↖ ↑ ↗
← N 80.591523°
W 31.311035°		 ← 199.70 m → N 80.591523°
W 31.300049°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 80.589727°
W 31.311035°		 ← 199.74 m →
39 891 m²		 N 80.589727°
W 31.300049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413040161132812 y=0.102523803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413040161132812 × 215)
    floor (0.413040161132812 × 32768)
    floor (13534.5)     		tx = 13534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102523803710938 × 215)
    floor (0.102523803710938 × 32768)
    floor (3359.5)     		ty = 3359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13534 / 3359 ti = "15/13534/3359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13534/3359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13534 ÷ 215
    13534 ÷ 32768     		x = 0.41302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3359 ÷ 215
    3359 ÷ 32768     		y = 0.102508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54648066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102508544921875 × 2 - 1) × π
    0.79498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49751247020493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54648066} λ = -0.54648066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49751247020493))-π/2
    2×atan(12.1522273042098)-π/2
    2×1.48869187650679-π/2
    2.97738375301359-1.57079632675     		φ = 1.40658743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54648066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40658743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.591523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13534 KachelY 3359 -0.54648066 1.40658743 -31.311035 80.591523
    Oben rechts KachelX + 1 13535 KachelY 3359 -0.54628891 1.40658743 -31.300049 80.591523
    Unten links KachelX 13534 KachelY + 1 3360 -0.54648066 1.40655608 -31.311035 80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 13535 KachelY + 1 3360 -0.54628891 1.40655608 -31.300049 80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40658743-1.40655608) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40658743-1.40655608) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54648066--0.54628891) × cos(1.40658743) × R
    0.000191749999999935 × 0.163471920951202 × 6371000     		do = 199.703714906819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54648066--0.54628891) × cos(1.40655608) × R
    0.000191749999999935 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 199.741498008724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40658743)-sin(1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163471920951202-0.163502849150264)×R²
    abs(-0.54628891--0.54648066)×3.09281990618915e-05×R²
    0.000191749999999935×3.09281990618915e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.09281990618915e-05×40589641000000     		ar = 39890.7659555516m²