Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13534 / 12718
↖ ↑ ↗
← S 70.005566°
E117.377930°		 ← 835.43 m → S 70.005566°
E117.399902°		 →
↑
835.30 m
↓
↑
835.30 m
↓
S 70.013079°
E117.377930°		 ← 835.13 m →
697 708 m²		 S 70.013079°
E117.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826080322265625 y=0.776275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826080322265625 × 214)
    floor (0.826080322265625 × 16384)
    floor (13534.5)     		tx = 13534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776275634765625 × 214)
    floor (0.776275634765625 × 16384)
    floor (12718.5)     		ty = 12718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13534 / 12718 ti = "14/13534/12718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13534/12718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13534 ÷ 214
    13534 ÷ 16384     		x = 0.8260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12718 ÷ 214
    12718 ÷ 16384     		y = 0.7762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8260498046875 × 2 - 1) × π
    0.652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04863134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73569926144299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04863134} λ = 2.04863134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73569926144299))-π/2
    2×atan(0.176276893544593)-π/2
    2×0.174484347932308-π/2
    0.348968695864615-1.57079632675     		φ = -1.22182763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04863134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22182763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.005566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13534 KachelY 12718 2.04863134 -1.22182763 117.377930 -70.005566
    Oben rechts KachelX + 1 13535 KachelY 12718 2.04901484 -1.22182763 117.399902 -70.005566
    Unten links KachelX 13534 KachelY + 1 12719 2.04863134 -1.22195874 117.377930 -70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 13535 KachelY + 1 12719 2.04901484 -1.22195874 117.399902 -70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22182763--1.22195874) × R
    0.000131110000000101 × 6371000     		dl = 835.301810000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22182763--1.22195874) × R
    0.000131110000000101 × 6371000     		dr = 835.301810000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04863134-2.04901484) × cos(-1.22182763) × R
    0.00038349999999987 × 0.341928847186946 × 6371000     		do = 835.427400861367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04863134-2.04901484) × cos(-1.22195874) × R
    0.00038349999999987 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 835.126363554697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22182763)-sin(-1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341928847186946-0.341805636792932)×R²
    abs(2.04901484-2.04863134)×0.000123210394013862×R²
    0.00038349999999987×0.000123210394013862×6371000²
    0.00038349999999987×0.000123210394013862×40589641000000     		ar = 697708.292558332m²