Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13533 / 5983
↖ ↑ ↗
← N 43.596306°
E117.355957°		 ← 1 769.42 m → N 43.596306°
E117.377930°		 →
↑
1 769.67 m
↓
↑
1 769.67 m
↓
N 43.580391°
E117.355957°		 ← 1 769.88 m →
3 131 701 m²		 N 43.580391°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826019287109375 y=0.365203857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826019287109375 × 214)
    floor (0.826019287109375 × 16384)
    floor (13533.5)     		tx = 13533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365203857421875 × 214)
    floor (0.365203857421875 × 16384)
    floor (5983.5)     		ty = 5983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13533 / 5983 ti = "14/13533/5983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13533/5983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13533 ÷ 214
    13533 ÷ 16384     		x = 0.82598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5983 ÷ 214
    5983 ÷ 16384     		y = 0.36517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82598876953125 × 2 - 1) × π
    0.6519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04824785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36517333984375 × 2 - 1) × π
    0.2696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.847140890085632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04824785} λ = 2.04824785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847140890085632))-π/2
    2×atan(2.33296709804112)-π/2
    2×1.16584770335882-π/2
    2.33169540671764-1.57079632675     		φ = 0.76089908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04824785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76089908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.596306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13533 KachelY 5983 2.04824785 0.76089908 117.355957 43.596306
    Oben rechts KachelX + 1 13534 KachelY 5983 2.04863134 0.76089908 117.377930 43.596306
    Unten links KachelX 13533 KachelY + 1 5984 2.04824785 0.76062131 117.355957 43.580391
    Unten rechts KachelX + 1 13534 KachelY + 1 5984 2.04863134 0.76062131 117.377930 43.580391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76089908-0.76062131) × R
    0.000277769999999955 × 6371000     		dl = 1769.67266999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76089908-0.76062131) × R
    0.000277769999999955 × 6371000     		dr = 1769.67266999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04824785-2.04863134) × cos(0.76089908) × R
    0.000383489999999931 × 0.724216322372776 × 6371000     		do = 1769.41602998025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04824785-2.04863134) × cos(0.76062131) × R
    0.000383489999999931 × 0.724407837082572 × 6371000     		du = 1769.88394155173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76089908)-sin(0.76062131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724216322372776-0.724407837082572)×R²
    abs(2.04863134-2.04824785)×0.00019151470979617×R²
    0.000383489999999931×0.00019151470979617×6371000²
    0.000383489999999931×0.00019151470979617×40589641000000     		ar = 3131701.23541002m²