Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13533 / 12516
↖ ↑ ↗
← S 68.431513°
E117.355957°		 ← 898.16 m → S 68.431513°
E117.377930°		 →
↑
897.99 m
↓
↑
897.99 m
↓
S 68.439589°
E117.355957°		 ← 897.84 m →
806 395 m²		 S 68.439589°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826019287109375 y=0.763946533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826019287109375 × 214)
    floor (0.826019287109375 × 16384)
    floor (13533.5)     		tx = 13533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763946533203125 × 214)
    floor (0.763946533203125 × 16384)
    floor (12516.5)     		ty = 12516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13533 / 12516 ti = "14/13533/12516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13533/12516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13533 ÷ 214
    13533 ÷ 16384     		x = 0.82598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12516 ÷ 214
    12516 ÷ 16384     		y = 0.763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82598876953125 × 2 - 1) × π
    0.6519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04824785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.52783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65823323165698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04824785} λ = 2.04824785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65823323165698))-π/2
    2×atan(0.190475208563779)-π/2
    2×0.188220557769865-π/2
    0.37644111553973-1.57079632675     		φ = -1.19435521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04824785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19435521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.431513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13533 KachelY 12516 2.04824785 -1.19435521 117.355957 -68.431513
    Oben rechts KachelX + 1 13534 KachelY 12516 2.04863134 -1.19435521 117.377930 -68.431513
    Unten links KachelX 13533 KachelY + 1 12517 2.04824785 -1.19449616 117.355957 -68.439589
    Unten rechts KachelX + 1 13534 KachelY + 1 12517 2.04863134 -1.19449616 117.377930 -68.439589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19435521--1.19449616) × R
    0.000140950000000029 × 6371000     		dl = 897.992450000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19435521--1.19449616) × R
    0.000140950000000029 × 6371000     		dr = 897.992450000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04824785-2.04863134) × cos(-1.19435521) × R
    0.000383489999999931 × 0.367613118443052 × 6371000     		do = 898.157807977924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04824785-2.04863134) × cos(-1.19449616) × R
    0.000383489999999931 × 0.367482034277936 × 6371000     		du = 897.837541206977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19435521)-sin(-1.19449616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367613118443052-0.367482034277936)×R²
    abs(2.04863134-2.04824785)×0.000131084165116258×R²
    0.000383489999999931×0.000131084165116258×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131084165116258×40589641000000     		ar = 806395.13323616m²