Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13532 / 3699
↖ ↑ ↗
← N 79.960846°
W 31.333008°		 ← 212.96 m → N 79.960846°
W 31.322021°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
N 79.958930°
W 31.333008°		 ← 213 m →
45 361 m²		 N 79.958930°
W 31.322021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412979125976562 y=0.112899780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412979125976562 × 215)
    floor (0.412979125976562 × 32768)
    floor (13532.5)     		tx = 13532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112899780273438 × 215)
    floor (0.112899780273438 × 32768)
    floor (3699.5)     		ty = 3699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13532 / 3699 ti = "15/13532/3699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13532/3699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13532 ÷ 215
    13532 ÷ 32768     		x = 0.4129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3699 ÷ 215
    3699 ÷ 32768     		y = 0.112884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54686415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112884521484375 × 2 - 1) × π
    0.77423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43231828672165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54686415} λ = -0.54686415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43231828672165))-π/2
    2×atan(11.3852457729925)-π/2
    2×1.48318817902188-π/2
    2.96637635804376-1.57079632675     		φ = 1.39558003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54686415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39558003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.960846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13532 KachelY 3699 -0.54686415 1.39558003 -31.333008 79.960846
    Oben rechts KachelX + 1 13533 KachelY 3699 -0.54667240 1.39558003 -31.322021 79.960846
    Unten links KachelX 13532 KachelY + 1 3700 -0.54686415 1.39554660 -31.333008 79.958930
    Unten rechts KachelX + 1 13533 KachelY + 1 3700 -0.54667240 1.39554660 -31.322021 79.958930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39558003-1.39554660) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39558003-1.39554660) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54686415--0.54667240) × cos(1.39558003) × R
    0.000191750000000046 × 0.174321126713386 × 6371000     		do = 212.957530497347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54686415--0.54667240) × cos(1.39554660) × R
    0.000191750000000046 × 0.174354044764456 × 6371000     		du = 212.997744480568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39558003)-sin(1.39554660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174321126713386-0.174354044764456)×R²
    abs(-0.54667240--0.54686415)×3.29180510703908e-05×R²
    0.000191750000000046×3.29180510703908e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.29180510703908e-05×40589641000000     		ar = 45360.516069832m²