Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13531 / 5981
↖ ↑ ↗
← N 43.628123°
E117.312012°		 ← 1 768.48 m → N 43.628123°
E117.333984°		 →
↑
1 768.72 m
↓
↑
1 768.72 m
↓
N 43.612217°
E117.312012°		 ← 1 768.95 m →
3 128 355 m²		 N 43.612217°
E117.333984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825897216796875 y=0.365081787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825897216796875 × 214)
    floor (0.825897216796875 × 16384)
    floor (13531.5)     		tx = 13531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365081787109375 × 214)
    floor (0.365081787109375 × 16384)
    floor (5981.5)     		ty = 5981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13531 / 5981 ti = "14/13531/5981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13531/5981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13531 ÷ 214
    13531 ÷ 16384     		x = 0.82586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5981 ÷ 214
    5981 ÷ 16384     		y = 0.36505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82586669921875 × 2 - 1) × π
    0.6517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04748086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36505126953125 × 2 - 1) × π
    0.2698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.847907880479553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04748086} λ = 2.04748086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847907880479553))-π/2
    2×atan(2.33475714778237)-π/2
    2×1.16612536339268-π/2
    2.33225072678535-1.57079632675     		φ = 0.76145440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04748086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76145440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.628123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13531 KachelY 5981 2.04748086 0.76145440 117.312012 43.628123
    Oben rechts KachelX + 1 13532 KachelY 5981 2.04786435 0.76145440 117.333984 43.628123
    Unten links KachelX 13531 KachelY + 1 5982 2.04748086 0.76117678 117.312012 43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 13532 KachelY + 1 5982 2.04786435 0.76117678 117.333984 43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76145440-0.76117678) × R
    0.000277619999999978 × 6371000     		dl = 1768.71701999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76145440-0.76117678) × R
    0.000277619999999978 × 6371000     		dr = 1768.71701999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04748086-2.04786435) × cos(0.76145440) × R
    0.000383490000000375 × 0.723833277129185 × 6371000     		do = 1768.48016817792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04748086-2.04786435) × cos(0.76117678) × R
    0.000383490000000375 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 1768.94809985807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76145440)-sin(0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723833277129185-0.724024800069398)×R²
    abs(2.04786435-2.04748086)×0.000191522940212296×R²
    0.000383490000000375×0.000191522940212296×6371000²
    0.000383490000000375×0.000191522940212296×40589641000000     		ar = 3128354.812445m²