Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13531 / 3327
↖ ↑ ↗
← N 80.648820°
W 31.343994°		 ← 198.50 m → N 80.648820°
W 31.333008°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 80.647035°
W 31.343994°		 ← 198.54 m →
39 410 m²		 N 80.647035°
W 31.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412948608398438 y=0.101547241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412948608398438 × 215)
    floor (0.412948608398438 × 32768)
    floor (13531.5)     		tx = 13531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101547241210938 × 215)
    floor (0.101547241210938 × 32768)
    floor (3327.5)     		ty = 3327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13531 / 3327 ti = "15/13531/3327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13531/3327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13531 ÷ 215
    13531 ÷ 32768     		x = 0.412933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3327 ÷ 215
    3327 ÷ 32768     		y = 0.101531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.17413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54705590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101531982421875 × 2 - 1) × π
    0.79693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50364839335629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54705590} λ = -0.54705590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50364839335629))-π/2
    2×atan(12.2270216686382)-π/2
    2×1.48919188710213-π/2
    2.97838377420427-1.57079632675     		φ = 1.40758745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54705590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.343994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40758745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.648820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13531 KachelY 3327 -0.54705590 1.40758745 -31.343994 80.648820
    Oben rechts KachelX + 1 13532 KachelY 3327 -0.54686415 1.40758745 -31.333008 80.648820
    Unten links KachelX 13531 KachelY + 1 3328 -0.54705590 1.40755629 -31.343994 80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 13532 KachelY + 1 3328 -0.54686415 1.40755629 -31.333008 80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40758745-1.40755629) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40758745-1.40755629) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54705590--0.54686415) × cos(1.40758745) × R
    0.000191750000000046 × 0.162485271658248 × 6371000     		do = 198.498385404676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54705590--0.54686415) × cos(1.40755629) × R
    0.000191750000000046 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 198.535945723375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40758745)-sin(1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162485271658248-0.162516017493157)×R²
    abs(-0.54686415--0.54705590)×3.07458349092793e-05×R²
    0.000191750000000046×3.07458349092793e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.07458349092793e-05×40589641000000     		ar = 39409.6991767255m²