Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13530 / 3275
↖ ↑ ↗
← N 80.741191°
W 31.354981°		 ← 196.55 m → N 80.741191°
W 31.343994°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
N 80.739423°
W 31.354981°		 ← 196.59 m →
38 636 m²		 N 80.739423°
W 31.343994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412918090820312 y=0.0999603271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412918090820312 × 215)
    floor (0.412918090820312 × 32768)
    floor (13530.5)     		tx = 13530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999603271484375 × 215)
    floor (0.0999603271484375 × 32768)
    floor (3275.5)     		ty = 3275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13530 / 3275 ti = "15/13530/3275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13530/3275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13530 ÷ 215
    13530 ÷ 32768     		x = 0.41290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3275 ÷ 215
    3275 ÷ 32768     		y = 0.099945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54724765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099945068359375 × 2 - 1) × π
    0.80010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51361926847726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54724765} λ = -0.54724765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51361926847726))-π/2
    2×atan(12.3495455950904)-π/2
    2×1.48999797514053-π/2
    2.97999595028105-1.57079632675     		φ = 1.40919962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54724765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.354981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40919962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.741191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13530 KachelY 3275 -0.54724765 1.40919962 -31.354981 80.741191
    Oben rechts KachelX + 1 13531 KachelY 3275 -0.54705590 1.40919962 -31.343994 80.741191
    Unten links KachelX 13530 KachelY + 1 3276 -0.54724765 1.40916877 -31.354981 80.739423
    Unten rechts KachelX + 1 13531 KachelY + 1 3276 -0.54705590 1.40916877 -31.343994 80.739423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40919962-1.40916877) × R
    3.08500000001377e-05 × 6371000     		dl = 196.545350000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40919962-1.40916877) × R
    3.08500000001377e-05 × 6371000     		dr = 196.545350000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54724765--0.54705590) × cos(1.40919962) × R
    0.000191749999999935 × 0.160894315367268 × 6371000     		do = 196.554810754466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54724765--0.54705590) × cos(1.40916877) × R
    0.000191749999999935 × 0.160924763365811 × 6371000     		du = 196.59200722457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40919962)-sin(1.40916877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160894315367268-0.160924763365811)×R²
    abs(-0.54705590--0.54724765)×3.04479985434036e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04479985434036e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04479985434036e-05×40589641000000     		ar = 38635.5894735676m²