Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1353 / 551
↖ ↑ ↗
← N 82.454537°
W120.541992°		 ← 641.66 m → N 82.454537°
W120.498047°		 →
↑
641.88 m
↓
↑
641.88 m
↓
N 82.448764°
W120.541992°		 ← 642.15 m →
412 024 m²		 N 82.448764°
W120.498047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16522216796875 y=0.06732177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16522216796875 × 213)
    floor (0.16522216796875 × 8192)
    floor (1353.5)     		tx = 1353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06732177734375 × 213)
    floor (0.06732177734375 × 8192)
    floor (551.5)     		ty = 551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1353 / 551 ti = "13/1353/551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1353/551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1353 ÷ 213
    1353 ÷ 8192     		x = 0.1651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 551 ÷ 213
    551 ÷ 8192     		y = 0.0672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10385465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0672607421875 × 2 - 1) × π
    0.865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.71898094644959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10385465} λ = -2.10385465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71898094644959))-π/2
    2×atan(15.1648605631526)-π/2
    2×1.50494973887531-π/2
    3.00989947775062-1.57079632675     		φ = 1.43910315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10385465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43910315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.454537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1353 KachelY 551 -2.10385465 1.43910315 -120.541992 82.454537
    Oben rechts KachelX + 1 1354 KachelY 551 -2.10308766 1.43910315 -120.498047 82.454537
    Unten links KachelX 1353 KachelY + 1 552 -2.10385465 1.43900240 -120.541992 82.448764
    Unten rechts KachelX + 1 1354 KachelY + 1 552 -2.10308766 1.43900240 -120.498047 82.448764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43910315-1.43900240) × R
    0.000100750000000094 × 6371000     		dl = 641.878250000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43910315-1.43900240) × R
    0.000100750000000094 × 6371000     		dr = 641.878250000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10385465--2.10308766) × cos(1.43910315) × R
    0.000766990000000245 × 0.131312845586025 × 6371000     		do = 641.659338847123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10385465--2.10308766) × cos(1.43900240) × R
    0.000766990000000245 × 0.131412722523038 × 6371000     		du = 642.147386829661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43910315)-sin(1.43900240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131312845586025-0.131412722523038)×R²
    abs(-2.10308766--2.10385465)×9.98769370126884e-05×R²
    0.000766990000000245×9.98769370126884e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.98769370126884e-05×40589641000000     		ar = 412023.807558137m²