Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13529 / 3150
↖ ↑ ↗
← N 80.959552°
W 31.365967°		 ← 191.95 m → N 80.959552°
W 31.354981°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
N 80.957825°
W 31.365967°		 ← 191.98 m →
36 862 m²		 N 80.957825°
W 31.354981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412887573242188 y=0.0961456298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412887573242188 × 215)
    floor (0.412887573242188 × 32768)
    floor (13529.5)     		tx = 13529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961456298828125 × 215)
    floor (0.0961456298828125 × 32768)
    floor (3150.5)     		ty = 3150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13529 / 3150 ti = "15/13529/3150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13529/3150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13529 ÷ 215
    13529 ÷ 32768     		x = 0.412872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3150 ÷ 215
    3150 ÷ 32768     		y = 0.09613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.17425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54743939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09613037109375 × 2 - 1) × π
    0.8077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53758771828729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54743939} λ = -0.54743939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53758771828729))-π/2
    2×atan(12.649120894937)-π/2
    2×1.49190353605478-π/2
    2.98380707210955-1.57079632675     		φ = 1.41301075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54743939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.365967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41301075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.959552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13529 KachelY 3150 -0.54743939 1.41301075 -31.365967 80.959552
    Oben rechts KachelX + 1 13530 KachelY 3150 -0.54724765 1.41301075 -31.354981 80.959552
    Unten links KachelX 13529 KachelY + 1 3151 -0.54743939 1.41298061 -31.365967 80.957825
    Unten rechts KachelX + 1 13530 KachelY + 1 3151 -0.54724765 1.41298061 -31.354981 80.957825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41301075-1.41298061) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41301075-1.41298061) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54743939--0.54724765) × cos(1.41301075) × R
    0.000191739999999996 × 0.157131678774106 × 6371000     		do = 191.94821534958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54743939--0.54724765) × cos(1.41298061) × R
    0.000191739999999996 × 0.157161444293418 × 6371000     		du = 191.984576179908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41301075)-sin(1.41298061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157131678774106-0.157161444293418)×R²
    abs(-0.54724765--0.54743939)×2.97655193123303e-05×R²
    0.000191739999999996×2.97655193123303e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.97655193123303e-05×40589641000000     		ar = 36861.7597322923m²