Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13529 / 16114
↖ ↑ ↗
← N 79.309775°
W142.841492°		 ← 56.66 m → N 79.309775°
W142.838745°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.309265°
W142.841492°		 ← 56.66 m →
3 209 m²		 N 79.309265°
W142.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103221893310547 y=0.122943878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103221893310547 × 217)
    floor (0.103221893310547 × 131072)
    floor (13529.5)     		tx = 13529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122943878173828 × 217)
    floor (0.122943878173828 × 131072)
    floor (16114.5)     		ty = 16114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13529 / 16114 ti = "17/13529/16114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13529/16114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13529 ÷ 217
    13529 ÷ 131072     		x = 0.103218078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16114 ÷ 217
    16114 ÷ 131072     		y = 0.122940063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103218078613281 × 2 - 1) × π
    -0.793563842773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.49305434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122940063476562 × 2 - 1) × π
    0.754119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36913745302242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49305434} λ = -2.49305434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36913745302242))-π/2
    2×atan(10.6881692589464)-π/2
    2×1.4775065130912-π/2
    2.95501302618241-1.57079632675     		φ = 1.38421670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49305434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.841492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38421670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.309775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13529 KachelY 16114 -2.49305434 1.38421670 -142.841492 79.309775
    Oben rechts KachelX + 1 13530 KachelY 16114 -2.49300640 1.38421670 -142.838745 79.309775
    Unten links KachelX 13529 KachelY + 1 16115 -2.49305434 1.38420781 -142.841492 79.309265
    Unten rechts KachelX + 1 13530 KachelY + 1 16115 -2.49300640 1.38420781 -142.838745 79.309265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38421670-1.38420781) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38421670-1.38420781) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49305434--2.49300640) × cos(1.38421670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18549897582794 × 6371000     		do = 56.6561619614536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49305434--2.49300640) × cos(1.38420781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185507711529838 × 6371000     		du = 56.6588300696701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38421670)-sin(1.38420781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18549897582794-0.185507711529838)×R²
    abs(-2.49300640--2.49305434)×8.7357018975498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7357018975498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7357018975498e-06×40589641000000     		ar = 3208.97802430871m²