Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13526 / 3305
↖ ↑ ↗
← N 80.688011°
W 31.398926°		 ← 197.67 m → N 80.688011°
W 31.387940°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 80.686233°
W 31.398926°		 ← 197.71 m →
39 082 m²		 N 80.686233°
W 31.387940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412796020507812 y=0.100875854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412796020507812 × 215)
    floor (0.412796020507812 × 32768)
    floor (13526.5)     		tx = 13526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100875854492188 × 215)
    floor (0.100875854492188 × 32768)
    floor (3305.5)     		ty = 3305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13526 / 3305 ti = "15/13526/3305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13526/3305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13526 ÷ 215
    13526 ÷ 32768     		x = 0.41278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3305 ÷ 215
    3305 ÷ 32768     		y = 0.100860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54801464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100860595703125 × 2 - 1) × π
    0.79827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50786684052286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54801464} λ = -0.54801464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50786684052286))-π/2
    2×atan(12.2787096584286)-π/2
    2×1.48953389257416-π/2
    2.97906778514831-1.57079632675     		φ = 1.40827146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54801464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.398926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40827146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.688011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13526 KachelY 3305 -0.54801464 1.40827146 -31.398926 80.688011
    Oben rechts KachelX + 1 13527 KachelY 3305 -0.54782289 1.40827146 -31.387940 80.688011
    Unten links KachelX 13526 KachelY + 1 3306 -0.54801464 1.40824043 -31.398926 80.686233
    Unten rechts KachelX + 1 13527 KachelY + 1 3306 -0.54782289 1.40824043 -31.387940 80.686233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40827146-1.40824043) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40827146-1.40824043) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54801464--0.54782289) × cos(1.40827146) × R
    0.000191750000000046 × 0.161810313529955 × 6371000     		do = 197.673830063047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54801464--0.54782289) × cos(1.40824043) × R
    0.000191750000000046 × 0.16184093453498 × 6371000     		du = 197.711237884659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40827146)-sin(1.40824043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161810313529955-0.16184093453498)×R²
    abs(-0.54782289--0.54801464)×3.0621005024517e-05×R²
    0.000191750000000046×3.0621005024517e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.0621005024517e-05×40589641000000     		ar = 39082.2581290793m²