Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13526 / 12531
↖ ↑ ↗
← S 68.552351°
E117.202148°		 ← 893.39 m → S 68.552351°
E117.224121°		 →
↑
893.21 m
↓
↑
893.21 m
↓
S 68.560384°
E117.202148°		 ← 893.07 m →
797 844 m²		 S 68.560384°
E117.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825592041015625 y=0.764862060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825592041015625 × 214)
    floor (0.825592041015625 × 16384)
    floor (13526.5)     		tx = 13526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764862060546875 × 214)
    floor (0.764862060546875 × 16384)
    floor (12531.5)     		ty = 12531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13526 / 12531 ti = "14/13526/12531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13526/12531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13526 ÷ 214
    13526 ÷ 16384     		x = 0.8255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12531 ÷ 214
    12531 ÷ 16384     		y = 0.76483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8255615234375 × 2 - 1) × π
    0.651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04556338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.5296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66398565961139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04556338} λ = 2.04556338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66398565961139))-π/2
    2×atan(0.189382659068287)-π/2
    2×0.187166047706085-π/2
    0.374332095412171-1.57079632675     		φ = -1.19646423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04556338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19646423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.552351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13526 KachelY 12531 2.04556338 -1.19646423 117.202148 -68.552351
    Oben rechts KachelX + 1 13527 KachelY 12531 2.04594688 -1.19646423 117.224121 -68.552351
    Unten links KachelX 13526 KachelY + 1 12532 2.04556338 -1.19660443 117.202148 -68.560384
    Unten rechts KachelX + 1 13527 KachelY + 1 12532 2.04594688 -1.19660443 117.224121 -68.560384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19646423--1.19660443) × R
    0.000140200000000146 × 6371000     		dl = 893.214200000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19646423--1.19660443) × R
    0.000140200000000146 × 6371000     		dr = 893.214200000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04556338-2.04594688) × cos(-1.19646423) × R
    0.00038349999999987 × 0.365650958413094 × 6371000     		do = 893.387125194804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04556338-2.04594688) × cos(-1.19660443) × R
    0.00038349999999987 × 0.365520463382635 × 6371000     		du = 893.068289492526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19646423)-sin(-1.19660443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365650958413094-0.365520463382635)×R²
    abs(2.04594688-2.04556338)×0.000130495030459421×R²
    0.00038349999999987×0.000130495030459421×6371000²
    0.00038349999999987×0.000130495030459421×40589641000000     		ar = 797843.673341741m²