Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13525 / 4650
↖ ↑ ↗
← N 77.966165°
W 31.409912°		 ← 254.69 m → N 77.966165°
W 31.398926°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
N 77.963874°
W 31.409912°		 ← 254.73 m →
64 878 m²		 N 77.963874°
W 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412765502929688 y=0.141921997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412765502929688 × 215)
    floor (0.412765502929688 × 32768)
    floor (13525.5)     		tx = 13525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141921997070312 × 215)
    floor (0.141921997070312 × 32768)
    floor (4650.5)     		ty = 4650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13525 / 4650 ti = "15/13525/4650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13525/4650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13525 ÷ 215
    13525 ÷ 32768     		x = 0.412750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4650 ÷ 215
    4650 ÷ 32768     		y = 0.14190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.17449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54820638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14190673828125 × 2 - 1) × π
    0.7161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24996632056696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54820638} λ = -0.54820638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24996632056696))-π/2
    2×atan(9.48741630017561)-π/2
    2×1.4657813036036-π/2
    2.9315626072072-1.57079632675     		φ = 1.36076628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54820638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36076628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.966165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13525 KachelY 4650 -0.54820638 1.36076628 -31.409912 77.966165
    Oben rechts KachelX + 1 13526 KachelY 4650 -0.54801464 1.36076628 -31.398926 77.966165
    Unten links KachelX 13525 KachelY + 1 4651 -0.54820638 1.36072630 -31.409912 77.963874
    Unten rechts KachelX + 1 13526 KachelY + 1 4651 -0.54801464 1.36072630 -31.398926 77.963874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36076628-1.36072630) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dl = 254.712579999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36076628-1.36072630) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dr = 254.712579999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.36076628) × R
    0.000191739999999996 × 0.208489286446293 × 6371000     		do = 254.685412674839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.36072630) × R
    0.000191739999999996 × 0.208528387705194 × 6371000     		du = 254.733177816296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36076628)-sin(1.36072630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208489286446293-0.208528387705194)×R²
    abs(-0.54801464--0.54820638)×3.91012589010808e-05×R²
    0.000191739999999996×3.91012589010808e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.91012589010808e-05×40589641000000     		ar = 64877.6617508078m²