Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13525 / 3261
↖ ↑ ↗
← N 80.765905°
W 31.409912°		 ← 196.02 m → N 80.765905°
W 31.398926°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 80.764142°
W 31.409912°		 ← 196.06 m →
38 444 m²		 N 80.764142°
W 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412765502929688 y=0.0995330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412765502929688 × 215)
    floor (0.412765502929688 × 32768)
    floor (13525.5)     		tx = 13525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995330810546875 × 215)
    floor (0.0995330810546875 × 32768)
    floor (3261.5)     		ty = 3261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13525 / 3261 ti = "15/13525/3261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13525/3261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13525 ÷ 215
    13525 ÷ 32768     		x = 0.412750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3261 ÷ 215
    3261 ÷ 32768     		y = 0.099517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.17449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54820638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099517822265625 × 2 - 1) × π
    0.80096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51630373485599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54820638} λ = -0.54820638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51630373485599))-π/2
    2×atan(12.3827420725112)-π/2
    2×1.49021364698268-π/2
    2.98042729396535-1.57079632675     		φ = 1.40963097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54820638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40963097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.765905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13525 KachelY 3261 -0.54820638 1.40963097 -31.409912 80.765905
    Oben rechts KachelX + 1 13526 KachelY 3261 -0.54801464 1.40963097 -31.398926 80.765905
    Unten links KachelX 13525 KachelY + 1 3262 -0.54820638 1.40960019 -31.409912 80.764142
    Unten rechts KachelX + 1 13526 KachelY + 1 3262 -0.54801464 1.40960019 -31.398926 80.764142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40963097-1.40960019) × R
    3.0780000000119e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40963097-1.40960019) × R
    3.0780000000119e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.40963097) × R
    0.000191739999999996 × 0.160468570195087 × 6371000     		do = 196.024480289086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.40960019) × R
    0.000191739999999996 × 0.160498951239524 × 6371000     		du = 196.061593029851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40963097)-sin(1.40960019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160468570195087-0.160498951239524)×R²
    abs(-0.54801464--0.54820638)×3.03810444373109e-05×R²
    0.000191739999999996×3.03810444373109e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.03810444373109e-05×40589641000000     		ar = 38443.9179451125m²