Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13525 / 3221
↖ ↑ ↗
← N 80.836157°
W 31.409912°		 ← 194.55 m → N 80.836157°
W 31.398926°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 80.834408°
W 31.409912°		 ← 194.58 m →
37 856 m²		 N 80.834408°
W 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412765502929688 y=0.0983123779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412765502929688 × 215)
    floor (0.412765502929688 × 32768)
    floor (13525.5)     		tx = 13525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0983123779296875 × 215)
    floor (0.0983123779296875 × 32768)
    floor (3221.5)     		ty = 3221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13525 / 3221 ti = "15/13525/3221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13525/3221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13525 ÷ 215
    13525 ÷ 32768     		x = 0.412750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3221 ÷ 215
    3221 ÷ 32768     		y = 0.098297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.17449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54820638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098297119140625 × 2 - 1) × π
    0.80340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5239736387952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54820638} λ = -0.54820638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5239736387952))-π/2
    2×atan(12.4780816701074)-π/2
    2×1.49082671256088-π/2
    2.98165342512176-1.57079632675     		φ = 1.41085710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54820638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41085710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.836157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13525 KachelY 3221 -0.54820638 1.41085710 -31.409912 80.836157
    Oben rechts KachelX + 1 13526 KachelY 3221 -0.54801464 1.41085710 -31.398926 80.836157
    Unten links KachelX 13525 KachelY + 1 3222 -0.54820638 1.41082656 -31.409912 80.834408
    Unten rechts KachelX + 1 13526 KachelY + 1 3222 -0.54801464 1.41082656 -31.398926 80.834408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41085710-1.41082656) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dl = 194.570340000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41085710-1.41082656) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dr = 194.570340000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.41085710) × R
    0.000191739999999996 × 0.159258209353895 × 6371000     		do = 194.545933090913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.41082656) × R
    0.000191739999999996 × 0.159288359496496 × 6371000     		du = 194.582763767642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41085710)-sin(1.41082656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159258209353895-0.159288359496496)×R²
    abs(-0.54801464--0.54820638)×3.01501426013262e-05×R²
    0.000191739999999996×3.01501426013262e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.01501426013262e-05×40589641000000     		ar = 37856.4514292352m²