Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13525 / 3219
↖ ↑ ↗
← N 80.839656°
W 31.409912°		 ← 194.47 m → N 80.839656°
W 31.398926°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
N 80.837907°
W 31.409912°		 ← 194.51 m →
37 830 m²		 N 80.837907°
W 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412765502929688 y=0.0982513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412765502929688 × 215)
    floor (0.412765502929688 × 32768)
    floor (13525.5)     		tx = 13525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982513427734375 × 215)
    floor (0.0982513427734375 × 32768)
    floor (3219.5)     		ty = 3219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13525 / 3219 ti = "15/13525/3219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13525/3219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13525 ÷ 215
    13525 ÷ 32768     		x = 0.412750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3219 ÷ 215
    3219 ÷ 32768     		y = 0.098236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.17449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54820638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098236083984375 × 2 - 1) × π
    0.80352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52435713399216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54820638} λ = -0.54820638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52435713399216))-π/2
    2×atan(12.4828678721793)-π/2
    2×1.49085724416035-π/2
    2.9817144883207-1.57079632675     		φ = 1.41091816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54820638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41091816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.839656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13525 KachelY 3219 -0.54820638 1.41091816 -31.409912 80.839656
    Oben rechts KachelX + 1 13526 KachelY 3219 -0.54801464 1.41091816 -31.398926 80.839656
    Unten links KachelX 13525 KachelY + 1 3220 -0.54820638 1.41088763 -31.409912 80.837907
    Unten rechts KachelX + 1 13526 KachelY + 1 3220 -0.54801464 1.41088763 -31.398926 80.837907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41091816-1.41088763) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dl = 194.506630000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41091816-1.41088763) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dr = 194.506630000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.41091816) × R
    0.000191739999999996 × 0.159197928368038 × 6371000     		do = 194.472295313063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54820638--0.54801464) × cos(1.41088763) × R
    0.000191739999999996 × 0.159228068935173 × 6371000     		du = 194.509114292637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41091816)-sin(1.41088763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159197928368038-0.159228068935173)×R²
    abs(-0.54801464--0.54820638)×3.01405671353505e-05×R²
    0.000191739999999996×3.01405671353505e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.01405671353505e-05×40589641000000     		ar = 37829.7315605699m²