Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13524 / 4654
↖ ↑ ↗
← N 77.956999°
W 31.420898°		 ← 254.89 m → N 77.956999°
W 31.409912°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
N 77.954707°
W 31.420898°		 ← 254.94 m →
64 978 m²		 N 77.954707°
W 31.409912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412734985351562 y=0.142044067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412734985351562 × 215)
    floor (0.412734985351562 × 32768)
    floor (13524.5)     		tx = 13524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142044067382812 × 215)
    floor (0.142044067382812 × 32768)
    floor (4654.5)     		ty = 4654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13524 / 4654 ti = "15/13524/4654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13524/4654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13524 ÷ 215
    13524 ÷ 32768     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4654 ÷ 215
    4654 ÷ 32768     		y = 0.14202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14202880859375 × 2 - 1) × π
    0.7159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24919933017303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24919933017303))-π/2
    2×atan(9.48014233289835)-π/2
    2×1.46570131896822-π/2
    2.93140263793644-1.57079632675     		φ = 1.36060631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36060631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.956999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13524 KachelY 4654 -0.54839813 1.36060631 -31.420898 77.956999
    Oben rechts KachelX + 1 13525 KachelY 4654 -0.54820638 1.36060631 -31.409912 77.956999
    Unten links KachelX 13524 KachelY + 1 4655 -0.54839813 1.36056630 -31.420898 77.954707
    Unten rechts KachelX + 1 13525 KachelY + 1 4655 -0.54820638 1.36056630 -31.409912 77.954707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36060631-1.36056630) × R
    4.00100000002013e-05 × 6371000     		dl = 254.903710001282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36060631-1.36056630) × R
    4.00100000002013e-05 × 6371000     		dr = 254.903710001282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54820638) × cos(1.36060631) × R
    0.000191750000000046 × 0.20864573838134 × 6371000     		do = 254.889823351938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54820638) × cos(1.36056630) × R
    0.000191750000000046 × 0.20868486764569 × 6371000     		du = 254.937625197092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36060631)-sin(1.36056630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20864573838134-0.20868486764569)×R²
    abs(-0.54820638--0.54839813)×3.91292643499852e-05×R²
    0.000191750000000046×3.91292643499852e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.91292643499852e-05×40589641000000     		ar = 64978.4540566818m²