Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13524 / 12535
↖ ↑ ↗
← S 68.584465°
E117.158203°		 ← 892.11 m → S 68.584465°
E117.180176°		 →
↑
891.94 m
↓
↑
891.94 m
↓
S 68.592486°
E117.158203°		 ← 891.79 m →
795 569 m²		 S 68.592486°
E117.180176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825469970703125 y=0.765106201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825469970703125 × 214)
    floor (0.825469970703125 × 16384)
    floor (13524.5)     		tx = 13524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765106201171875 × 214)
    floor (0.765106201171875 × 16384)
    floor (12535.5)     		ty = 12535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13524 / 12535 ti = "14/13524/12535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13524/12535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13524 ÷ 214
    13524 ÷ 16384     		x = 0.825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12535 ÷ 214
    12535 ÷ 16384     		y = 0.76507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825439453125 × 2 - 1) × π
    0.65087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04479639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.5301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66551964039923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04479639} λ = 2.04479639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66551964039923))-π/2
    2×atan(0.189092372411726)-π/2
    2×0.186885797061475-π/2
    0.37377159412295-1.57079632675     		φ = -1.19702473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04479639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19702473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.584465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13524 KachelY 12535 2.04479639 -1.19702473 117.158203 -68.584465
    Oben rechts KachelX + 1 13525 KachelY 12535 2.04517989 -1.19702473 117.180176 -68.584465
    Unten links KachelX 13524 KachelY + 1 12536 2.04479639 -1.19716473 117.158203 -68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 13525 KachelY + 1 12536 2.04517989 -1.19716473 117.180176 -68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19702473--1.19716473) × R
    0.000139999999999807 × 6371000     		dl = 891.93999999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19702473--1.19716473) × R
    0.000139999999999807 × 6371000     		dr = 891.93999999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04479639-2.04517989) × cos(-1.19702473) × R
    0.00038349999999987 × 0.36512921448048 × 6371000     		do = 892.112359461743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04479639-2.04517989) × cos(-1.19716473) × R
    0.00038349999999987 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 891.793908560207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19702473)-sin(-1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36512921448048-0.364998876943627)×R²
    abs(2.04517989-2.04479639)×0.000130337536853209×R²
    0.00038349999999987×0.000130337536853209×6371000²
    0.00038349999999987×0.000130337536853209×40589641000000     		ar = 795568.679647881m²