Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13523 / 5980
↖ ↑ ↗
← N 43.644026°
E117.136230°		 ← 1 768.06 m → N 43.644026°
E117.158203°		 →
↑
1 768.27 m
↓
↑
1 768.27 m
↓
N 43.628123°
E117.136230°		 ← 1 768.53 m →
3 126 820 m²		 N 43.628123°
E117.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825408935546875 y=0.365020751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825408935546875 × 214)
    floor (0.825408935546875 × 16384)
    floor (13523.5)     		tx = 13523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365020751953125 × 214)
    floor (0.365020751953125 × 16384)
    floor (5980.5)     		ty = 5980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13523 / 5980 ti = "14/13523/5980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13523/5980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13523 ÷ 214
    13523 ÷ 16384     		x = 0.82537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5980 ÷ 214
    5980 ÷ 16384     		y = 0.364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82537841796875 × 2 - 1) × π
    0.6507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04441289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364990234375 × 2 - 1) × π
    0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04441289} λ = 2.04441289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848291375676514))-π/2
    2×atan(2.33565268764126)-π/2
    2×1.16626413832261-π/2
    2.33252827664522-1.57079632675     		φ = 0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04441289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.136230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13523 KachelY 5980 2.04441289 0.76173195 117.136230 43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 13524 KachelY 5980 2.04479639 0.76173195 117.158203 43.644026
    Unten links KachelX 13523 KachelY + 1 5981 2.04441289 0.76145440 117.136230 43.628123
    Unten rechts KachelX + 1 13524 KachelY + 1 5981 2.04479639 0.76145440 117.158203 43.628123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76173195-0.76145440) × R
    0.000277550000000071 × 6371000     		dl = 1768.27105000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76173195-0.76145440) × R
    0.000277550000000071 × 6371000     		dr = 1768.27105000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04441289-2.04479639) × cos(0.76173195) × R
    0.000383500000000314 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 1768.05832144869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04441289-2.04479639) × cos(0.76145440) × R
    0.000383500000000314 × 0.723833277129185 × 6371000     		du = 1768.52628359573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76173195)-sin(0.76145440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.723833277129185)×R²
    abs(2.04479639-2.04441289)×0.000191530415808994×R²
    0.000383500000000314×0.000191530415808994×6371000²
    0.000383500000000314×0.000191530415808994×40589641000000     		ar = 3126820.10656177m²