Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13523 / 3263
↖ ↑ ↗
← N 80.762379°
W 31.431885°		 ← 196.11 m → N 80.762379°
W 31.420898°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
N 80.760615°
W 31.431885°		 ← 196.15 m →
38 473 m²		 N 80.760615°
W 31.420898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412704467773438 y=0.0995941162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412704467773438 × 215)
    floor (0.412704467773438 × 32768)
    floor (13523.5)     		tx = 13523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995941162109375 × 215)
    floor (0.0995941162109375 × 32768)
    floor (3263.5)     		ty = 3263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13523 / 3263 ti = "15/13523/3263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13523/3263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13523 ÷ 215
    13523 ÷ 32768     		x = 0.412689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3263 ÷ 215
    3263 ÷ 32768     		y = 0.099578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.17462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54858988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099578857421875 × 2 - 1) × π
    0.80084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51592023965903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54858988} λ = -0.54858988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51592023965903))-π/2
    2×atan(12.3779942608408)-π/2
    2×1.49018287169495-π/2
    2.98036574338989-1.57079632675     		φ = 1.40956942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54858988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40956942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.762379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13523 KachelY 3263 -0.54858988 1.40956942 -31.431885 80.762379
    Oben rechts KachelX + 1 13524 KachelY 3263 -0.54839813 1.40956942 -31.420898 80.762379
    Unten links KachelX 13523 KachelY + 1 3264 -0.54858988 1.40953863 -31.431885 80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 13524 KachelY + 1 3264 -0.54839813 1.40953863 -31.420898 80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40956942-1.40953863) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40956942-1.40953863) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54858988--0.54839813) × cos(1.40956942) × R
    0.000191749999999935 × 0.160529322261592 × 6371000     		do = 196.108920850593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54858988--0.54839813) × cos(1.40953863) × R
    0.000191749999999935 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 196.146047213338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40956942)-sin(1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160529322261592-0.160559712872195)×R²
    abs(-0.54839813--0.54858988)×3.03906106030871e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03906106030871e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03906106030871e-05×40589641000000     		ar = 38472.9733050634m²