Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13523 / 3220
↖ ↑ ↗
← N 80.837907°
W 31.431885°		 ← 194.52 m → N 80.837907°
W 31.420898°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
N 80.836157°
W 31.431885°		 ← 194.56 m →
37 839 m²		 N 80.836157°
W 31.420898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412704467773438 y=0.0982818603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412704467773438 × 215)
    floor (0.412704467773438 × 32768)
    floor (13523.5)     		tx = 13523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982818603515625 × 215)
    floor (0.0982818603515625 × 32768)
    floor (3220.5)     		ty = 3220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13523 / 3220 ti = "15/13523/3220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13523/3220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13523 ÷ 215
    13523 ÷ 32768     		x = 0.412689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3220 ÷ 215
    3220 ÷ 32768     		y = 0.0982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.17462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54858988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0982666015625 × 2 - 1) × π
    0.803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52416538639368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54858988} λ = -0.54858988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52416538639368))-π/2
    2×atan(12.4804745417077)-π/2
    2×1.49084197980553-π/2
    2.98168395961106-1.57079632675     		φ = 1.41088763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54858988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41088763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.837907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13523 KachelY 3220 -0.54858988 1.41088763 -31.431885 80.837907
    Oben rechts KachelX + 1 13524 KachelY 3220 -0.54839813 1.41088763 -31.420898 80.837907
    Unten links KachelX 13523 KachelY + 1 3221 -0.54858988 1.41085710 -31.431885 80.836157
    Unten rechts KachelX + 1 13524 KachelY + 1 3221 -0.54839813 1.41085710 -31.420898 80.836157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41088763-1.41085710) × R
    3.05299999998621e-05 × 6371000     		dl = 194.506629999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41088763-1.41085710) × R
    3.05299999998621e-05 × 6371000     		dr = 194.506629999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54858988--0.54839813) × cos(1.41088763) × R
    0.000191749999999935 × 0.159228068935173 × 6371000     		do = 194.519258712848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54858988--0.54839813) × cos(1.41085710) × R
    0.000191749999999935 × 0.159258209353895 × 6371000     		du = 194.556079431369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41088763)-sin(1.41085710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159228068935173-0.159258209353895)×R²
    abs(-0.54839813--0.54858988)×3.0140418721708e-05×R²
    0.000191749999999935×3.0140418721708e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.0140418721708e-05×40589641000000     		ar = 37838.86642152m²