Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13522 / 5297
↖ ↑ ↗
← N 53.527248°
E117.114258°		 ← 1 452.35 m → N 53.527248°
E117.136230°		 →
↑
1 452.59 m
↓
↑
1 452.59 m
↓
N 53.514185°
E117.114258°		 ← 1 452.79 m →
2 109 985 m²		 N 53.514185°
E117.136230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825347900390625 y=0.323333740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825347900390625 × 214)
    floor (0.825347900390625 × 16384)
    floor (13522.5)     		tx = 13522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323333740234375 × 214)
    floor (0.323333740234375 × 16384)
    floor (5297.5)     		ty = 5297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13522 / 5297 ti = "14/13522/5297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13522/5297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13522 ÷ 214
    13522 ÷ 16384     		x = 0.8253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5297 ÷ 214
    5297 ÷ 16384     		y = 0.32330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8253173828125 × 2 - 1) × π
    0.650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04402940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32330322265625 × 2 - 1) × π
    0.3533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1102185952005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04402940} λ = 2.04402940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1102185952005))-π/2
    2×atan(3.03502176311926)-π/2
    2×1.25251152169289-π/2
    2.50502304338577-1.57079632675     		φ = 0.93422672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04402940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93422672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.527248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13522 KachelY 5297 2.04402940 0.93422672 117.114258 53.527248
    Oben rechts KachelX + 1 13523 KachelY 5297 2.04441289 0.93422672 117.136230 53.527248
    Unten links KachelX 13522 KachelY + 1 5298 2.04402940 0.93399872 117.114258 53.514185
    Unten rechts KachelX + 1 13523 KachelY + 1 5298 2.04441289 0.93399872 117.136230 53.514185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93422672-0.93399872) × R
    0.000228000000000006 × 6371000     		dl = 1452.58800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93422672-0.93399872) × R
    0.000228000000000006 × 6371000     		dr = 1452.58800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04402940-2.04441289) × cos(0.93422672) × R
    0.000383489999999931 × 0.594440429146774 × 6371000     		do = 1452.34564826508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04402940-2.04441289) × cos(0.93399872) × R
    0.000383489999999931 × 0.594623757534618 × 6371000     		du = 1452.79355889369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93422672)-sin(0.93399872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594440429146774-0.594623757534618)×R²
    abs(2.04441289-2.04402940)×0.000183328387844073×R²
    0.000383489999999931×0.000183328387844073×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183328387844073×40589641000000     		ar = 2109985.18446396m²