Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13522 / 12529
↖ ↑ ↗
← S 68.536276°
E117.114258°		 ← 894 m → S 68.536276°
E117.136230°		 →
↑
893.85 m
↓
↑
893.85 m
↓
S 68.544315°
E117.114258°		 ← 893.68 m →
798 962 m²		 S 68.544315°
E117.136230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825347900390625 y=0.764739990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825347900390625 × 214)
    floor (0.825347900390625 × 16384)
    floor (13522.5)     		tx = 13522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764739990234375 × 214)
    floor (0.764739990234375 × 16384)
    floor (12529.5)     		ty = 12529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13522 / 12529 ti = "14/13522/12529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13522/12529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13522 ÷ 214
    13522 ÷ 16384     		x = 0.8253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12529 ÷ 214
    12529 ÷ 16384     		y = 0.76470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8253173828125 × 2 - 1) × π
    0.650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04402940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.5294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66321866921747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04402940} λ = 2.04402940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66321866921747))-π/2
    2×atan(0.189527969467284)-π/2
    2×0.18730632315388-π/2
    0.374612646307761-1.57079632675     		φ = -1.19618368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04402940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19618368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.536276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13522 KachelY 12529 2.04402940 -1.19618368 117.114258 -68.536276
    Oben rechts KachelX + 1 13523 KachelY 12529 2.04441289 -1.19618368 117.136230 -68.536276
    Unten links KachelX 13522 KachelY + 1 12530 2.04402940 -1.19632398 117.114258 -68.544315
    Unten rechts KachelX + 1 13523 KachelY + 1 12530 2.04441289 -1.19632398 117.136230 -68.544315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19618368--1.19632398) × R
    0.000140299999999982 × 6371000     		dl = 893.851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19618368--1.19632398) × R
    0.000140299999999982 × 6371000     		dr = 893.851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04402940-2.04441289) × cos(-1.19618368) × R
    0.000383489999999931 × 0.365912066507116 × 6371000     		do = 894.001772729489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04402940-2.04441289) × cos(-1.19632398) × R
    0.000383489999999931 × 0.365781492791342 × 6371000     		du = 893.682753095923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19618368)-sin(-1.19632398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365912066507116-0.365781492791342)×R²
    abs(2.04441289-2.04402940)×0.000130573715774795×R²
    0.000383489999999931×0.000130573715774795×6371000²
    0.000383489999999931×0.000130573715774795×40589641000000     		ar = 798962.070009168m²