Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13520 / 3248
↖ ↑ ↗
← N 80.788795°
W 31.464844°		 ← 195.55 m → N 80.788795°
W 31.453857°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 80.787037°
W 31.464844°		 ← 195.59 m →
38 252 m²		 N 80.787037°
W 31.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412612915039062 y=0.0991363525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412612915039062 × 215)
    floor (0.412612915039062 × 32768)
    floor (13520.5)     		tx = 13520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991363525390625 × 215)
    floor (0.0991363525390625 × 32768)
    floor (3248.5)     		ty = 3248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13520 / 3248 ti = "15/13520/3248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13520/3248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13520 ÷ 215
    13520 ÷ 32768     		x = 0.41259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3248 ÷ 215
    3248 ÷ 32768     		y = 0.09912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54916512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09912109375 × 2 - 1) × π
    0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54916512} λ = -0.54916512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51879645363623))-π/2
    2×atan(12.4136472692055)-π/2
    2×1.49041340264838-π/2
    2.98082680529675-1.57079632675     		φ = 1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54916512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13520 KachelY 3248 -0.54916512 1.41003048 -31.464844 80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 13521 KachelY 3248 -0.54897337 1.41003048 -31.453857 80.788795
    Unten links KachelX 13520 KachelY + 1 3249 -0.54916512 1.40999978 -31.464844 80.787037
    Unten rechts KachelX + 1 13521 KachelY + 1 3249 -0.54897337 1.40999978 -31.453857 80.787037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41003048-1.40999978) × R
    3.07000000001612e-05 × 6371000     		dl = 195.589700001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41003048-1.40999978) × R
    3.07000000001612e-05 × 6371000     		dr = 195.589700001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54916512--0.54897337) × cos(1.41003048) × R
    0.000191749999999935 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 195.552955769374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54916512--0.54897337) × cos(1.40999978) × R
    0.000191749999999935 × 0.16010452871685 × 6371000     		du = 195.589976383189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41003048)-sin(1.40999978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.16010452871685)×R²
    abs(-0.54897337--0.54916512)×3.03040474636251e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03040474636251e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03040474636251e-05×40589641000000     		ar = 38251.764381552m²