Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1352 / 550
↖ ↑ ↗
← N 82.460305°
W120.585937°		 ← 641.17 m → N 82.460305°
W120.541992°		 →
↑
641.43 m
↓
↑
641.43 m
↓
N 82.454537°
W120.585937°		 ← 641.66 m →
411 425 m²		 N 82.454537°
W120.541992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16510009765625 y=0.06719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16510009765625 × 213)
    floor (0.16510009765625 × 8192)
    floor (1352.5)     		tx = 1352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06719970703125 × 213)
    floor (0.06719970703125 × 8192)
    floor (550.5)     		ty = 550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1352 / 550 ti = "13/1352/550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1352/550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1352 ÷ 213
    1352 ÷ 8192     		x = 0.1650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 550 ÷ 213
    550 ÷ 8192     		y = 0.067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    -0.669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10462164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.067138671875 × 2 - 1) × π
    0.86572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.71974793684351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10462164} λ = -2.10462164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71974793684351))-π/2
    2×atan(15.1764963272189)-π/2
    2×1.50500007758053-π/2
    3.01000015516105-1.57079632675     		φ = 1.43920383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10462164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43920383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.460305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1352 KachelY 550 -2.10462164 1.43920383 -120.585937 82.460305
    Oben rechts KachelX + 1 1353 KachelY 550 -2.10385465 1.43920383 -120.541992 82.460305
    Unten links KachelX 1352 KachelY + 1 551 -2.10462164 1.43910315 -120.585937 82.454537
    Unten rechts KachelX + 1 1353 KachelY + 1 551 -2.10385465 1.43910315 -120.541992 82.454537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43920383-1.43910315) × R
    0.000100680000000075 × 6371000     		dl = 641.432280000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43920383-1.43910315) × R
    0.000100680000000075 × 6371000     		dr = 641.432280000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10462164--2.10385465) × cos(1.43920383) × R
    0.000766989999999801 × 0.131213036710907 × 6371000     		do = 641.171623448205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10462164--2.10385465) × cos(1.43910315) × R
    0.000766989999999801 × 0.131312845586025 × 6371000     		du = 641.659338846751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43920383)-sin(1.43910315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131213036710907-0.131312845586025)×R²
    abs(-2.10385465--2.10462164)×9.98088751179571e-05×R²
    0.000766989999999801×9.98088751179571e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.98088751179571e-05×40589641000000     		ar = 411424.594847344m²