Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13519 / 3255
↖ ↑ ↗
← N 80.776477°
W 31.475830°		 ← 195.81 m → N 80.776477°
W 31.464844°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 80.774716°
W 31.475830°		 ← 195.85 m →
38 352 m²		 N 80.774716°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412582397460938 y=0.0993499755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412582397460938 × 215)
    floor (0.412582397460938 × 32768)
    floor (13519.5)     		tx = 13519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993499755859375 × 215)
    floor (0.0993499755859375 × 32768)
    floor (3255.5)     		ty = 3255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13519 / 3255 ti = "15/13519/3255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13519/3255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13519 ÷ 215
    13519 ÷ 32768     		x = 0.412567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3255 ÷ 215
    3255 ÷ 32768     		y = 0.099334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.17486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54935687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099334716796875 × 2 - 1) × π
    0.80133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51745422044687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54935687} λ = -0.54935687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51745422044687))-π/2
    2×atan(12.3969964369894)-π/2
    2×1.49030590298088-π/2
    2.98061180596176-1.57079632675     		φ = 1.40981548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54935687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.475830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40981548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.776477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13519 KachelY 3255 -0.54935687 1.40981548 -31.475830 80.776477
    Oben rechts KachelX + 1 13520 KachelY 3255 -0.54916512 1.40981548 -31.464844 80.776477
    Unten links KachelX 13519 KachelY + 1 3256 -0.54935687 1.40978474 -31.475830 80.774716
    Unten rechts KachelX + 1 13520 KachelY + 1 3256 -0.54916512 1.40978474 -31.464844 80.774716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40981548-1.40978474) × R
    3.07399999999181e-05 × 6371000     		dl = 195.844539999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40981548-1.40978474) × R
    3.07399999999181e-05 × 6371000     		dr = 195.844539999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54935687--0.54916512) × cos(1.40981548) × R
    0.000191750000000046 × 0.16028644853885 × 6371000     		do = 195.812216778212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54935687--0.54916512) × cos(1.40978474) × R
    0.000191750000000046 × 0.160316791011568 × 6371000     		du = 195.849284333826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40981548)-sin(1.40978474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16028644853885-0.160316791011568)×R²
    abs(-0.54916512--0.54935687)×3.03424727177426e-05×R²
    0.000191750000000046×3.03424727177426e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.03424727177426e-05×40589641000000     		ar = 38352.3832626419m²