Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13518 / 4014
↖ ↑ ↗
← N 79.339285°
W 31.486817°		 ← 225.99 m → N 79.339285°
W 31.475830°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
N 79.337252°
W 31.486817°		 ← 226.04 m →
51 089 m²		 N 79.337252°
W 31.475830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412551879882812 y=0.122512817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412551879882812 × 215)
    floor (0.412551879882812 × 32768)
    floor (13518.5)     		tx = 13518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122512817382812 × 215)
    floor (0.122512817382812 × 32768)
    floor (4014.5)     		ty = 4014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13518 / 4014 ti = "15/13518/4014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13518/4014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13518 ÷ 215
    13518 ÷ 32768     		x = 0.41253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4014 ÷ 215
    4014 ÷ 32768     		y = 0.12249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54954862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12249755859375 × 2 - 1) × π
    0.7550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37191779320038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54954862} λ = -0.54954862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37191779320038))-π/2
    2×atan(10.7179273550111)-π/2
    2×1.47776403626047-π/2
    2.95552807252094-1.57079632675     		φ = 1.38473175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54954862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.486817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38473175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.339285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13518 KachelY 4014 -0.54954862 1.38473175 -31.486817 79.339285
    Oben rechts KachelX + 1 13519 KachelY 4014 -0.54935687 1.38473175 -31.475830 79.339285
    Unten links KachelX 13518 KachelY + 1 4015 -0.54954862 1.38469627 -31.486817 79.337252
    Unten rechts KachelX + 1 13519 KachelY + 1 4015 -0.54935687 1.38469627 -31.475830 79.337252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38473175-1.38469627) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38473175-1.38469627) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54954862--0.54935687) × cos(1.38473175) × R
    0.000191750000000046 × 0.184992840218193 × 6371000     		do = 225.994514579578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54954862--0.54935687) × cos(1.38469627) × R
    0.000191750000000046 × 0.185027707712282 × 6371000     		du = 226.037110078905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38473175)-sin(1.38469627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184992840218193-0.185027707712282)×R²
    abs(-0.54935687--0.54954862)×3.48674940884586e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48674940884586e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48674940884586e-05×40589641000000     		ar = 51089.310352682m²