Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13517 / 4664
↖ ↑ ↗
← N 77.934055°
W 31.497802°		 ← 255.35 m → N 77.934055°
W 31.486817°		 →
↑
255.35 m
↓
↑
255.35 m
↓
N 77.931759°
W 31.497802°		 ← 255.40 m →
65 211 m²		 N 77.931759°
W 31.486817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412521362304688 y=0.142349243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412521362304688 × 215)
    floor (0.412521362304688 × 32768)
    floor (13517.5)     		tx = 13517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142349243164062 × 215)
    floor (0.142349243164062 × 32768)
    floor (4664.5)     		ty = 4664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13517 / 4664 ti = "15/13517/4664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13517/4664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13517 ÷ 215
    13517 ÷ 32768     		x = 0.412506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4664 ÷ 215
    4664 ÷ 32768     		y = 0.142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.17498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54974036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142333984375 × 2 - 1) × π
    0.71533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24728185418823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54974036} λ = -0.54974036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24728185418823))-π/2
    2×atan(9.46198180439541)-π/2
    2×1.46550109469921-π/2
    2.93100218939842-1.57079632675     		φ = 1.36020586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54974036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.497802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36020586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.934055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13517 KachelY 4664 -0.54974036 1.36020586 -31.497802 77.934055
    Oben rechts KachelX + 1 13518 KachelY 4664 -0.54954862 1.36020586 -31.486817 77.934055
    Unten links KachelX 13517 KachelY + 1 4665 -0.54974036 1.36016578 -31.497802 77.931759
    Unten rechts KachelX + 1 13518 KachelY + 1 4665 -0.54954862 1.36016578 -31.486817 77.931759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36020586-1.36016578) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dl = 255.349679999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36020586-1.36016578) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dr = 255.349679999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54974036--0.54954862) × cos(1.36020586) × R
    0.000191739999999996 × 0.20903735825219 × 6371000     		do = 255.354923787087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54974036--0.54954862) × cos(1.36016578) × R
    0.000191739999999996 × 0.209076552623116 × 6371000     		du = 255.402802671916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36020586)-sin(1.36016578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20903735825219-0.209076552623116)×R²
    abs(-0.54954862--0.54974036)×3.9194370925949e-05×R²
    0.000191739999999996×3.9194370925949e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.9194370925949e-05×40589641000000     		ar = 65210.9110131306m²