Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13515 / 3453
↖ ↑ ↗
← N 80.421194°
W 31.519775°		 ← 203.29 m → N 80.421194°
W 31.508789°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
N 80.419365°
W 31.519775°		 ← 203.32 m →
41 345 m²		 N 80.419365°
W 31.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412460327148438 y=0.105392456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412460327148438 × 215)
    floor (0.412460327148438 × 32768)
    floor (13515.5)     		tx = 13515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105392456054688 × 215)
    floor (0.105392456054688 × 32768)
    floor (3453.5)     		ty = 3453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13515 / 3453 ti = "15/13515/3453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13515/3453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13515 ÷ 215
    13515 ÷ 32768     		x = 0.412445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3453 ÷ 215
    3453 ÷ 32768     		y = 0.105377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.17510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55012386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105377197265625 × 2 - 1) × π
    0.78924560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47948819594778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55012386} λ = -0.55012386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47948819594778))-π/2
    2×atan(11.9351543940323)-π/2
    2×1.48720547093914-π/2
    2.97441094187827-1.57079632675     		φ = 1.40361462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55012386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.519775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40361462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.421194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13515 KachelY 3453 -0.55012386 1.40361462 -31.519775 80.421194
    Oben rechts KachelX + 1 13516 KachelY 3453 -0.54993211 1.40361462 -31.508789 80.421194
    Unten links KachelX 13515 KachelY + 1 3454 -0.55012386 1.40358270 -31.519775 80.419365
    Unten rechts KachelX + 1 13516 KachelY + 1 3454 -0.54993211 1.40358270 -31.508789 80.419365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40361462-1.40358270) × R
    3.19199999998521e-05 × 6371000     		dl = 203.362319999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40361462-1.40358270) × R
    3.19199999998521e-05 × 6371000     		dr = 203.362319999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55012386--0.54993211) × cos(1.40361462) × R
    0.000191750000000046 × 0.166404014004068 × 6371000     		do = 203.285674864969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55012386--0.54993211) × cos(1.40358270) × R
    0.000191750000000046 × 0.16643548887972 × 6371000     		du = 203.324125808454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40361462)-sin(1.40358270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166404014004068-0.16643548887972)×R²
    abs(-0.54993211--0.55012386)×3.14748756518879e-05×R²
    0.000191750000000046×3.14748756518879e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.14748756518879e-05×40589641000000     		ar = 41344.5562030579m²