Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13514 / 3466
↖ ↑ ↗
← N 80.397398°
W 31.530762°		 ← 203.79 m → N 80.397398°
W 31.519775°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 80.395565°
W 31.530762°		 ← 203.82 m →
41 537 m²		 N 80.395565°
W 31.519775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412429809570312 y=0.105789184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412429809570312 × 215)
    floor (0.412429809570312 × 32768)
    floor (13514.5)     		tx = 13514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105789184570312 × 215)
    floor (0.105789184570312 × 32768)
    floor (3466.5)     		ty = 3466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13514 / 3466 ti = "15/13514/3466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13514/3466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13514 ÷ 215
    13514 ÷ 32768     		x = 0.41241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3466 ÷ 215
    3466 ÷ 32768     		y = 0.10577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55031561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10577392578125 × 2 - 1) × π
    0.7884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47699547716754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55031561} λ = -0.55031561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47699547716754))-π/2
    2×atan(11.9054404601557)-π/2
    2×1.48699781663474-π/2
    2.97399563326949-1.57079632675     		φ = 1.40319931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55031561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40319931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.397398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13514 KachelY 3466 -0.55031561 1.40319931 -31.530762 80.397398
    Oben rechts KachelX + 1 13515 KachelY 3466 -0.55012386 1.40319931 -31.519775 80.397398
    Unten links KachelX 13514 KachelY + 1 3467 -0.55031561 1.40316732 -31.530762 80.395565
    Unten rechts KachelX + 1 13515 KachelY + 1 3467 -0.55012386 1.40316732 -31.519775 80.395565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40319931-1.40316732) × R
    3.19899999998707e-05 × 6371000     		dl = 203.808289999176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40319931-1.40316732) × R
    3.19899999998707e-05 × 6371000     		dr = 203.808289999176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55031561--0.55012386) × cos(1.40319931) × R
    0.000191749999999935 × 0.166813519247195 × 6371000     		do = 203.785942542935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55031561--0.55012386) × cos(1.40316732) × R
    0.000191749999999935 × 0.166845060932776 × 6371000     		du = 203.824475104052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40319931)-sin(1.40316732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166813519247195-0.166845060932776)×R²
    abs(-0.55012386--0.55031561)×3.15416855808659e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15416855808659e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15416855808659e-05×40589641000000     		ar = 41537.1911067048m²