Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13514 / 12515
↖ ↑ ↗
← S 68.423434°
E116.938477°		 ← 898.48 m → S 68.423434°
E116.960449°		 →
↑
898.31 m
↓
↑
898.31 m
↓
S 68.431513°
E116.938477°		 ← 898.16 m →
806 969 m²		 S 68.431513°
E116.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824859619140625 y=0.763885498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824859619140625 × 214)
    floor (0.824859619140625 × 16384)
    floor (13514.5)     		tx = 13514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763885498046875 × 214)
    floor (0.763885498046875 × 16384)
    floor (12515.5)     		ty = 12515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13514 / 12515 ti = "14/13514/12515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13514/12515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13514 ÷ 214
    13514 ÷ 16384     		x = 0.8248291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12515 ÷ 214
    12515 ÷ 16384     		y = 0.76385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8248291015625 × 2 - 1) × π
    0.649658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04096144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.5277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65784973646002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04096144} λ = 2.04096144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65784973646002))-π/2
    2×atan(0.190548268899651)-π/2
    2×0.188291059273205-π/2
    0.37658211854641-1.57079632675     		φ = -1.19421421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04096144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.938477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19421421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.423434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13514 KachelY 12515 2.04096144 -1.19421421 116.938477 -68.423434
    Oben rechts KachelX + 1 13515 KachelY 12515 2.04134493 -1.19421421 116.960449 -68.423434
    Unten links KachelX 13514 KachelY + 1 12516 2.04096144 -1.19435521 116.938477 -68.431513
    Unten rechts KachelX + 1 13515 KachelY + 1 12516 2.04134493 -1.19435521 116.960449 -68.431513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19421421--1.19435521) × R
    0.000140999999999947 × 6371000     		dl = 898.310999999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19421421--1.19435521) × R
    0.000140999999999947 × 6371000     		dr = 898.310999999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04096144-2.04134493) × cos(-1.19421421) × R
    0.000383490000000375 × 0.367744241801183 × 6371000     		do = 898.478170506865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04096144-2.04134493) × cos(-1.19435521) × R
    0.000383490000000375 × 0.367613118443052 × 6371000     		du = 898.157807978964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19421421)-sin(-1.19435521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367744241801183-0.367613118443052)×R²
    abs(2.04134493-2.04096144)×0.000131123358131313×R²
    0.000383490000000375×0.000131123358131313×6371000²
    0.000383490000000375×0.000131123358131313×40589641000000     		ar = 806968.932571004m²