Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13513 / 3313
↖ ↑ ↗
← N 80.673779°
W 31.541748°		 ← 197.97 m → N 80.673779°
W 31.530762°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
N 80.671998°
W 31.541748°		 ← 198.01 m →
39 205 m²		 N 80.671998°
W 31.530762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412399291992188 y=0.101119995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412399291992188 × 215)
    floor (0.412399291992188 × 32768)
    floor (13513.5)     		tx = 13513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101119995117188 × 215)
    floor (0.101119995117188 × 32768)
    floor (3313.5)     		ty = 3313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13513 / 3313 ti = "15/13513/3313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13513/3313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13513 ÷ 215
    13513 ÷ 32768     		x = 0.412384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3313 ÷ 215
    3313 ÷ 32768     		y = 0.101104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.17523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55050736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101104736328125 × 2 - 1) × π
    0.79779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50633285973502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55050736} λ = -0.55050736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50633285973502))-π/2
    2×atan(12.2598887928268)-π/2
    2×1.48940969163622-π/2
    2.97881938327244-1.57079632675     		φ = 1.40802306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55050736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.541748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40802306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.673779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13513 KachelY 3313 -0.55050736 1.40802306 -31.541748 80.673779
    Oben rechts KachelX + 1 13514 KachelY 3313 -0.55031561 1.40802306 -31.530762 80.673779
    Unten links KachelX 13513 KachelY + 1 3314 -0.55050736 1.40799198 -31.541748 80.671998
    Unten rechts KachelX + 1 13514 KachelY + 1 3314 -0.55031561 1.40799198 -31.530762 80.671998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40802306-1.40799198) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dl = 198.01068000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40802306-1.40799198) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dr = 198.01068000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55050736--0.55031561) × cos(1.40802306) × R
    0.000191750000000046 × 0.162055435090319 × 6371000     		do = 197.973280182209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55050736--0.55031561) × cos(1.40799198) × R
    0.000191750000000046 × 0.162086104185902 × 6371000     		du = 198.010746753135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40802306)-sin(1.40799198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162055435090319-0.162086104185902)×R²
    abs(-0.55031561--0.55050736)×3.06690955831634e-05×R²
    0.000191750000000046×3.06690955831634e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.06690955831634e-05×40589641000000     		ar = 39204.5332241281m²