Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13512 / 5753
↖ ↑ ↗
← N 47.144898°
E116.894531°		 ← 1 661.74 m → N 47.144898°
E116.916504°		 →
↑
1 662 m
↓
↑
1 662 m
↓
N 47.129951°
E116.894531°		 ← 1 662.21 m →
2 762 212 m²		 N 47.129951°
E116.916504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824737548828125 y=0.351165771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824737548828125 × 214)
    floor (0.824737548828125 × 16384)
    floor (13512.5)     		tx = 13512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351165771484375 × 214)
    floor (0.351165771484375 × 16384)
    floor (5753.5)     		ty = 5753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13512 / 5753 ti = "14/13512/5753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13512/5753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13512 ÷ 214
    13512 ÷ 16384     		x = 0.82470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5753 ÷ 214
    5753 ÷ 16384     		y = 0.35113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82470703125 × 2 - 1) × π
    0.6494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04019445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35113525390625 × 2 - 1) × π
    0.2977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.935344785386536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04019445} λ = 2.04019445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935344785386536))-π/2
    2×atan(2.54809185113552)-π/2
    2×1.19681500670741-π/2
    2.39363001341483-1.57079632675     		φ = 0.82283369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04019445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82283369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.144898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13512 KachelY 5753 2.04019445 0.82283369 116.894531 47.144898
    Oben rechts KachelX + 1 13513 KachelY 5753 2.04057794 0.82283369 116.916504 47.144898
    Unten links KachelX 13512 KachelY + 1 5754 2.04019445 0.82257282 116.894531 47.129951
    Unten rechts KachelX + 1 13513 KachelY + 1 5754 2.04057794 0.82257282 116.916504 47.129951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82283369-0.82257282) × R
    0.000260869999999969 × 6371000     		dl = 1662.0027699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82283369-0.82257282) × R
    0.000260869999999969 × 6371000     		dr = 1662.0027699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04019445-2.04057794) × cos(0.82283369) × R
    0.000383489999999931 × 0.680146630386361 × 6371000     		do = 1661.74430672832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04019445-2.04057794) × cos(0.82257282) × R
    0.000383489999999931 × 0.680337844802052 × 6371000     		du = 1662.2114846168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82283369)-sin(0.82257282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680146630386361-0.680337844802052)×R²
    abs(2.04057794-2.04019445)×0.000191214415691254×R²
    0.000383489999999931×0.000191214415691254×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191214415691254×40589641000000     		ar = 2762211.88195187m²