Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13512 / 3481
↖ ↑ ↗
← N 80.369869°
W 31.552734°		 ← 204.35 m → N 80.369869°
W 31.541748°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
N 80.368031°
W 31.552734°		 ← 204.39 m →
41 770 m²		 N 80.368031°
W 31.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412368774414062 y=0.106246948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412368774414062 × 215)
    floor (0.412368774414062 × 32768)
    floor (13512.5)     		tx = 13512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106246948242188 × 215)
    floor (0.106246948242188 × 32768)
    floor (3481.5)     		ty = 3481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13512 / 3481 ti = "15/13512/3481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13512/3481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13512 ÷ 215
    13512 ÷ 32768     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3481 ÷ 215
    3481 ÷ 32768     		y = 0.106231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106231689453125 × 2 - 1) × π
    0.78753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47411926319034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47411926319034))-π/2
    2×atan(11.8712470632349)-π/2
    2×1.48675758046762-π/2
    2.97351516093524-1.57079632675     		φ = 1.40271883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40271883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.369869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13512 KachelY 3481 -0.55069910 1.40271883 -31.552734 80.369869
    Oben rechts KachelX + 1 13513 KachelY 3481 -0.55050736 1.40271883 -31.541748 80.369869
    Unten links KachelX 13512 KachelY + 1 3482 -0.55069910 1.40268675 -31.552734 80.368031
    Unten rechts KachelX + 1 13513 KachelY + 1 3482 -0.55050736 1.40268675 -31.541748 80.368031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40271883-1.40268675) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40271883-1.40268675) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55050736) × cos(1.40271883) × R
    0.000191739999999996 × 0.167287247710452 × 6371000     		do = 204.354009957004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55050736) × cos(1.40268675) × R
    0.000191739999999996 × 0.167318875559389 × 6371000     		du = 204.392645763648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40271883)-sin(1.40268675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167287247710452-0.167318875559389)×R²
    abs(-0.55050736--0.55069910)×3.16278489369548e-05×R²
    0.000191739999999996×3.16278489369548e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.16278489369548e-05×40589641000000     		ar = 41770.1640984537m²