Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13512 / 3462
↖ ↑ ↗
← N 80.404726°
W 31.552734°		 ← 203.62 m → N 80.404726°
W 31.541748°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 80.402895°
W 31.552734°		 ← 203.66 m →
41 465 m²		 N 80.402895°
W 31.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412368774414062 y=0.105667114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412368774414062 × 215)
    floor (0.412368774414062 × 32768)
    floor (13512.5)     		tx = 13512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105667114257812 × 215)
    floor (0.105667114257812 × 32768)
    floor (3462.5)     		ty = 3462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13512 / 3462 ti = "15/13512/3462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13512/3462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13512 ÷ 215
    13512 ÷ 32768     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3462 ÷ 215
    3462 ÷ 32768     		y = 0.10565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10565185546875 × 2 - 1) × π
    0.7886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47776246756146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47776246756146))-π/2
    2×atan(11.9145753213516)-π/2
    2×1.48706176463614-π/2
    2.97412352927227-1.57079632675     		φ = 1.40332720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40332720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.404726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13512 KachelY 3462 -0.55069910 1.40332720 -31.552734 80.404726
    Oben rechts KachelX + 1 13513 KachelY 3462 -0.55050736 1.40332720 -31.541748 80.404726
    Unten links KachelX 13512 KachelY + 1 3463 -0.55069910 1.40329524 -31.552734 80.402895
    Unten rechts KachelX + 1 13513 KachelY + 1 3463 -0.55050736 1.40329524 -31.541748 80.402895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40332720-1.40329524) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40332720-1.40329524) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55050736) × cos(1.40332720) × R
    0.000191739999999996 × 0.166687419818776 × 6371000     		do = 203.621274876324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55050736) × cos(1.40329524) × R
    0.000191739999999996 × 0.166718932606498 × 6371000     		du = 203.659770127002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40332720)-sin(1.40329524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166687419818776-0.166718932606498)×R²
    abs(-0.55050736--0.55069910)×3.15127877215104e-05×R²
    0.000191739999999996×3.15127877215104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.15127877215104e-05×40589641000000     		ar = 41464.7048566174m²