Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13511 / 3315
↖ ↑ ↗
← N 80.670217°
W 31.563721°		 ← 198.05 m → N 80.670217°
W 31.552734°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
N 80.668436°
W 31.563721°		 ← 198.09 m →
39 232 m²		 N 80.668436°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412338256835938 y=0.101181030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412338256835938 × 215)
    floor (0.412338256835938 × 32768)
    floor (13511.5)     		tx = 13511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101181030273438 × 215)
    floor (0.101181030273438 × 32768)
    floor (3315.5)     		ty = 3315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13511 / 3315 ti = "15/13511/3315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13511/3315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13511 ÷ 215
    13511 ÷ 32768     		x = 0.412322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3315 ÷ 215
    3315 ÷ 32768     		y = 0.101165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.17535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55089085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101165771484375 × 2 - 1) × π
    0.79766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50594936453806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55089085} λ = -0.55089085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50594936453806))-π/2
    2×atan(12.2551880857664)-π/2
    2×1.48937861201478-π/2
    2.97875722402956-1.57079632675     		φ = 1.40796090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55089085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.563721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40796090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.670217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13511 KachelY 3315 -0.55089085 1.40796090 -31.563721 80.670217
    Oben rechts KachelX + 1 13512 KachelY 3315 -0.55069910 1.40796090 -31.552734 80.670217
    Unten links KachelX 13511 KachelY + 1 3316 -0.55089085 1.40792981 -31.563721 80.668436
    Unten rechts KachelX + 1 13512 KachelY + 1 3316 -0.55069910 1.40792981 -31.552734 80.668436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40796090-1.40792981) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40796090-1.40792981) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55089085--0.55069910) × cos(1.40796090) × R
    0.000191750000000046 × 0.162116773124916 × 6371000     		do = 198.04821313279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55089085--0.55069910) × cos(1.40792981) × R
    0.000191750000000046 × 0.162147451774995 × 6371000     		du = 198.085691375864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40796090)-sin(1.40792981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162116773124916-0.162147451774995)×R²
    abs(-0.55069910--0.55089085)×3.06786500794132e-05×R²
    0.000191750000000046×3.06786500794132e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.06786500794132e-05×40589641000000     		ar = 39231.9907502945m²