Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13510 / 3317
↖ ↑ ↗
← N 80.666654°
W 31.574707°		 ← 198.12 m → N 80.666654°
W 31.563721°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 80.664872°
W 31.574707°		 ← 198.16 m →
39 259 m²		 N 80.664872°
W 31.563721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412307739257812 y=0.101242065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412307739257812 × 215)
    floor (0.412307739257812 × 32768)
    floor (13510.5)     		tx = 13510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101242065429688 × 215)
    floor (0.101242065429688 × 32768)
    floor (3317.5)     		ty = 3317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13510 / 3317 ti = "15/13510/3317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13510/3317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13510 ÷ 215
    13510 ÷ 32768     		x = 0.41229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3317 ÷ 215
    3317 ÷ 32768     		y = 0.101226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101226806640625 × 2 - 1) × π
    0.79754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50556586934109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55108260} λ = -0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50556586934109))-π/2
    2×atan(12.2504891810589)-π/2
    2×1.48934752062989-π/2
    2.97869504125978-1.57079632675     		φ = 1.40789871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40789871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.666654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13510 KachelY 3317 -0.55108260 1.40789871 -31.574707 80.666654
    Oben rechts KachelX + 1 13511 KachelY 3317 -0.55089085 1.40789871 -31.563721 80.666654
    Unten links KachelX 13510 KachelY + 1 3318 -0.55108260 1.40786761 -31.574707 80.664872
    Unten rechts KachelX + 1 13511 KachelY + 1 3318 -0.55089085 1.40786761 -31.563721 80.664872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40789871-1.40786761) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40789871-1.40786761) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55108260--0.55089085) × cos(1.40789871) × R
    0.000191749999999935 × 0.16217814013596 × 6371000     		do = 198.123181482022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55108260--0.55089085) × cos(1.40786761) × R
    0.000191749999999935 × 0.162208828340064 × 6371000     		du = 198.160671396667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40789871)-sin(1.40786761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16217814013596-0.162208828340064)×R²
    abs(-0.55089085--0.55108260)×3.06882041042345e-05×R²
    0.000191749999999935×3.06882041042345e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.06882041042345e-05×40589641000000     		ar = 39259.4648376569m²