Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13510 / 12510
↖ ↑ ↗
← S 68.382996°
E116.850586°		 ← 900.08 m → S 68.382996°
E116.872558°		 →
↑
899.90 m
↓
↑
899.90 m
↓
S 68.391089°
E116.850586°		 ← 899.76 m →
809 842 m²		 S 68.391089°
E116.872558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824615478515625 y=0.763580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824615478515625 × 214)
    floor (0.824615478515625 × 16384)
    floor (13510.5)     		tx = 13510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763580322265625 × 214)
    floor (0.763580322265625 × 16384)
    floor (12510.5)     		ty = 12510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13510 / 12510 ti = "14/13510/12510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13510/12510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13510 ÷ 214
    13510 ÷ 16384     		x = 0.8245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12510 ÷ 214
    12510 ÷ 16384     		y = 0.7635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8245849609375 × 2 - 1) × π
    0.649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03942746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65593226047522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03942746} λ = 2.03942746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65593226047522))-π/2
    2×atan(0.190913991148972)-π/2
    2×0.188643944144848-π/2
    0.377287888289696-1.57079632675     		φ = -1.19350844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03942746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.850586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19350844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.382996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13510 KachelY 12510 2.03942746 -1.19350844 116.850586 -68.382996
    Oben rechts KachelX + 1 13511 KachelY 12510 2.03981095 -1.19350844 116.872558 -68.382996
    Unten links KachelX 13510 KachelY + 1 12511 2.03942746 -1.19364969 116.850586 -68.391089
    Unten rechts KachelX + 1 13511 KachelY + 1 12511 2.03981095 -1.19364969 116.872558 -68.391089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19350844--1.19364969) × R
    0.000141249999999982 × 6371000     		dl = 899.903749999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19350844--1.19364969) × R
    0.000141249999999982 × 6371000     		dr = 899.903749999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03942746-2.03981095) × cos(-1.19350844) × R
    0.000383489999999931 × 0.36840046471671 × 6371000     		do = 900.081464038576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03942746-2.03981095) × cos(-1.19364969) × R
    0.000383489999999931 × 0.368269145550456 × 6371000     		du = 899.760623109374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19350844)-sin(-1.19364969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36840046471671-0.368269145550456)×R²
    abs(2.03981095-2.03942746)×0.000131319166253863×R²
    0.000383489999999931×0.000131319166253863×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131319166253863×40589641000000     		ar = 809842.323162217m²