Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13509 / 4013
↖ ↑ ↗
← N 79.341317°
W 31.585694°		 ← 225.95 m → N 79.341317°
W 31.574707°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
N 79.339285°
W 31.585694°		 ← 225.99 m →
51 051 m²		 N 79.339285°
W 31.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412277221679688 y=0.122482299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412277221679688 × 215)
    floor (0.412277221679688 × 32768)
    floor (13509.5)     		tx = 13509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122482299804688 × 215)
    floor (0.122482299804688 × 32768)
    floor (4013.5)     		ty = 4013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13509 / 4013 ti = "15/13509/4013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13509/4013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13509 ÷ 215
    13509 ÷ 32768     		x = 0.412261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4013 ÷ 215
    4013 ÷ 32768     		y = 0.122467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.17547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55127435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122467041015625 × 2 - 1) × π
    0.75506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37210954079886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55127435} λ = -0.55127435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37210954079886))-π/2
    2×atan(10.7199826888885)-π/2
    2×1.47778177055633-π/2
    2.95556354111267-1.57079632675     		φ = 1.38476721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55127435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.585694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38476721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.341317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13509 KachelY 4013 -0.55127435 1.38476721 -31.585694 79.341317
    Oben rechts KachelX + 1 13510 KachelY 4013 -0.55108260 1.38476721 -31.574707 79.341317
    Unten links KachelX 13509 KachelY + 1 4014 -0.55127435 1.38473175 -31.585694 79.339285
    Unten rechts KachelX + 1 13510 KachelY + 1 4014 -0.55108260 1.38473175 -31.574707 79.339285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38476721-1.38473175) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38476721-1.38473175) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55127435--0.55108260) × cos(1.38476721) × R
    0.000191750000000046 × 0.184957992146159 × 6371000     		do = 225.951942806994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55127435--0.55108260) × cos(1.38473175) × R
    0.000191750000000046 × 0.184992840218193 × 6371000     		du = 225.994514579578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38476721)-sin(1.38473175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184957992146159-0.184992840218193)×R²
    abs(-0.55108260--0.55127435)×3.48480720343547e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48480720343547e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48480720343547e-05×40589641000000     		ar = 51050.8911081808m²