Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13508 / 5188
↖ ↑ ↗
← N 54.927142°
E116.806641°		 ← 1 403.91 m → N 54.927142°
E116.828613°		 →
↑
1 404.10 m
↓
↑
1 404.10 m
↓
N 54.914514°
E116.806641°		 ← 1 404.35 m →
1 971 552 m²		 N 54.914514°
E116.828613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824493408203125 y=0.316680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824493408203125 × 214)
    floor (0.824493408203125 × 16384)
    floor (13508.5)     		tx = 13508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316680908203125 × 214)
    floor (0.316680908203125 × 16384)
    floor (5188.5)     		ty = 5188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13508 / 5188 ti = "14/13508/5188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13508/5188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13508 ÷ 214
    13508 ÷ 16384     		x = 0.824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5188 ÷ 214
    5188 ÷ 16384     		y = 0.316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824462890625 × 2 - 1) × π
    0.64892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03866047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316650390625 × 2 - 1) × π
    0.36669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15201957166919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03866047} λ = 2.03866047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15201957166919))-π/2
    2×atan(3.16457755156687)-π/2
    2×1.26472790051116-π/2
    2.52945580102233-1.57079632675     		φ = 0.95865947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03866047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95865947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.927142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13508 KachelY 5188 2.03866047 0.95865947 116.806641 54.927142
    Oben rechts KachelX + 1 13509 KachelY 5188 2.03904396 0.95865947 116.828613 54.927142
    Unten links KachelX 13508 KachelY + 1 5189 2.03866047 0.95843908 116.806641 54.914514
    Unten rechts KachelX + 1 13509 KachelY + 1 5189 2.03904396 0.95843908 116.828613 54.914514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95865947-0.95843908) × R
    0.000220389999999959 × 6371000     		dl = 1404.10468999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95865947-0.95843908) × R
    0.000220389999999959 × 6371000     		dr = 1404.10468999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03866047-2.03904396) × cos(0.95865947) × R
    0.000383489999999931 × 0.57461762130305 × 6371000     		do = 1403.91427096198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03866047-2.03904396) × cos(0.95843908) × R
    0.000383489999999931 × 0.574797979373664 × 6371000     		du = 1404.3549244676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95865947)-sin(0.95843908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57461762130305-0.574797979373664)×R²
    abs(2.03904396-2.03866047)×0.000180358070613229×R²
    0.000383489999999931×0.000180358070613229×6371000²
    0.000383489999999931×0.000180358070613229×40589641000000     		ar = 1971551.9820232m²