Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13508 / 3316
↖ ↑ ↗
← N 80.668436°
W 31.596680°		 ← 198.08 m → N 80.668436°
W 31.585694°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 80.666654°
W 31.596680°		 ← 198.11 m →
39 250 m²		 N 80.666654°
W 31.585694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412246704101562 y=0.101211547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412246704101562 × 215)
    floor (0.412246704101562 × 32768)
    floor (13508.5)     		tx = 13508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101211547851562 × 215)
    floor (0.101211547851562 × 32768)
    floor (3316.5)     		ty = 3316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13508 / 3316 ti = "15/13508/3316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13508/3316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13508 ÷ 215
    13508 ÷ 32768     		x = 0.4122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3316 ÷ 215
    3316 ÷ 32768     		y = 0.1011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1011962890625 × 2 - 1) × π
    0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55146609} λ = -0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50575761693958))-π/2
    2×atan(12.2528384081617)-π/2
    2×1.48936306779304-π/2
    2.97872613558607-1.57079632675     		φ = 1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13508 KachelY 3316 -0.55146609 1.40792981 -31.596680 80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 13509 KachelY 3316 -0.55127435 1.40792981 -31.585694 80.668436
    Unten links KachelX 13508 KachelY + 1 3317 -0.55146609 1.40789871 -31.596680 80.666654
    Unten rechts KachelX + 1 13509 KachelY + 1 3317 -0.55127435 1.40789871 -31.585694 80.666654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40792981-1.40789871) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40792981-1.40789871) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55146609--0.55127435) × cos(1.40792981) × R
    0.000191739999999996 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 198.075360961659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55146609--0.55127435) × cos(1.40789871) × R
    0.000191739999999996 × 0.16217814013596 × 6371000     		du = 198.112849112776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40792981)-sin(1.40789871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.16217814013596)×R²
    abs(-0.55127435--0.55146609)×3.0688360964537e-05×R²
    0.000191739999999996×3.0688360964537e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.0688360964537e-05×40589641000000     		ar = 39249.9895961509m²