Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13507 / 4017
↖ ↑ ↗
← N 79.333186°
W 31.607666°		 ← 226.12 m → N 79.333186°
W 31.596680°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
N 79.331152°
W 31.607666°		 ← 226.16 m →
51 147 m²		 N 79.331152°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412216186523438 y=0.122604370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412216186523438 × 215)
    floor (0.412216186523438 × 32768)
    floor (13507.5)     		tx = 13507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122604370117188 × 215)
    floor (0.122604370117188 × 32768)
    floor (4017.5)     		ty = 4017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13507 / 4017 ti = "15/13507/4017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13507/4017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13507 ÷ 215
    13507 ÷ 32768     		x = 0.412200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4017 ÷ 215
    4017 ÷ 32768     		y = 0.122589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.17559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55165784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122589111328125 × 2 - 1) × π
    0.75482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37134255040494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55165784} λ = -0.55165784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37134255040494))-π/2
    2×atan(10.7117637174821)-π/2
    2×1.47771081331767-π/2
    2.95542162663534-1.57079632675     		φ = 1.38462530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55165784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.607666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38462530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.333186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13507 KachelY 4017 -0.55165784 1.38462530 -31.607666 79.333186
    Oben rechts KachelX + 1 13508 KachelY 4017 -0.55146609 1.38462530 -31.596680 79.333186
    Unten links KachelX 13507 KachelY + 1 4018 -0.55165784 1.38458980 -31.607666 79.331152
    Unten rechts KachelX + 1 13508 KachelY + 1 4018 -0.55146609 1.38458980 -31.596680 79.331152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38462530-1.38458980) × R
    3.54999999998551e-05 × 6371000     		dl = 226.170499999077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38462530-1.38458980) × R
    3.54999999998551e-05 × 6371000     		dr = 226.170499999077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55165784--0.55146609) × cos(1.38462530) × R
    0.000191749999999935 × 0.185097451828861 × 6371000     		do = 226.122312229044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55165784--0.55146609) × cos(1.38458980) × R
    0.000191749999999935 × 0.185132338278268 × 6371000     		du = 226.164930884933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38462530)-sin(1.38458980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185097451828861-0.185132338278268)×R²
    abs(-0.55146609--0.55165784)×3.48864494074674e-05×R²
    0.000191749999999935×3.48864494074674e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.48864494074674e-05×40589641000000     		ar = 51147.0159643137m²