Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13506 / 4700
↖ ↑ ↗
← N 77.851100°
W 31.618652°		 ← 257.10 m → N 77.851100°
W 31.607666°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
N 77.848787°
W 31.618652°		 ← 257.15 m →
66 115 m²		 N 77.848787°
W 31.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412185668945312 y=0.143447875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412185668945312 × 215)
    floor (0.412185668945312 × 32768)
    floor (13506.5)     		tx = 13506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143447875976562 × 215)
    floor (0.143447875976562 × 32768)
    floor (4700.5)     		ty = 4700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13506 / 4700 ti = "15/13506/4700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13506/4700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13506 ÷ 215
    13506 ÷ 32768     		x = 0.41217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4700 ÷ 215
    4700 ÷ 32768     		y = 0.1434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55184959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1434326171875 × 2 - 1) × π
    0.713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24037894064294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55184959} λ = -0.55184959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24037894064294))-π/2
    2×atan(9.39689147694788)-π/2
    2×1.46477717091083-π/2
    2.92955434182166-1.57079632675     		φ = 1.35875802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55184959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35875802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.851100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13506 KachelY 4700 -0.55184959 1.35875802 -31.618652 77.851100
    Oben rechts KachelX + 1 13507 KachelY 4700 -0.55165784 1.35875802 -31.607666 77.851100
    Unten links KachelX 13506 KachelY + 1 4701 -0.55184959 1.35871766 -31.618652 77.848787
    Unten rechts KachelX + 1 13507 KachelY + 1 4701 -0.55165784 1.35871766 -31.607666 77.848787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35875802-1.35871766) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dl = 257.133560000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35875802-1.35871766) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dr = 257.133560000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55184959--0.55165784) × cos(1.35875802) × R
    0.000191750000000046 × 0.210452992481326 × 6371000     		do = 257.097635895204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55184959--0.55165784) × cos(1.35871766) × R
    0.000191750000000046 × 0.210492448406464 × 6371000     		du = 257.145836801998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35875802)-sin(1.35871766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210452992481326-0.210492448406464)×R²
    abs(-0.55165784--0.55184959)×3.94559251380711e-05×R²
    0.000191750000000046×3.94559251380711e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.94559251380711e-05×40589641000000     		ar = 66114.62743013m²